Goniometria e trigonometria

Goniometria: angoli orientati

Per studiare gli angoli nella goniometria moderna si parte dalla nozione di angolo orientato. L'idea è quella che vedi nell'illustrazione: uno stesso angolo può essere considerato come orientato in due modi diversi! Nel primo caso, l'angolo parte da A e arriva a P, mentre nel secondo succede il viceversa.

Fig. 1. Angoli orientati.

Per confrontare due angoli l'ideale è sovrapporli e far coincidere uno dei lati. È quello che fa la goniometria moderna: tutti gli angoli vengono appoggiati sulla circonferenza unitaria centrata sull'origine. Un lato dell'angolo viene appoggiato sempre sull'asse \(x\). Per disegnare un angolo con una misura positiva, come 30°, si ruota in senso antiorario: un angolo che ruota in senso orario viene considerato negativo (ad esempio, -30°).

La circonferenza unitaria, su cui troverai un articolo specifico, è un mezzo fondamentale per rappresentare gli angoli e associare loro una misura. Ecco un disegno per aiutarti a capire il procedimento:

• Un primo lato dell'angolo viene appoggiato sul segmento \(\overline{OA} \).
• Da qui si disegna l'angolo ruotando in senso antiorario di una grandezza \(\alpha\) corrispondente alla misura dell'angolo.
• Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto \(P\): l'angolo quindi è \(\widehat{AOP}\).

Fig 2. Un angolo sulla circonferenza goniometrica.

L'immagine evidenzia anche un altro punto \(Q\) sull'asse \(x\) che, con \(O\) e \(P\), forma un triangolo rettangolo. Se \(P\) ha coordinate \(P =(x_P, y_P) \) allora \(Q\) ha la stessa ascissa: \(Q =(x_P, 0)\). Questo triangolo ti suggerisce un esempio pratico del collegamento tra la goniometria, che studia gli angoli, e la trigonometria, che invece si occupa dei triangoli: c'è una corrispondenza diretta tra un angolo e il triangolo rettangolo che puoi costruire sulla circonferenza unitaria!

Sul triangolo \( \triangle{OQP} \) vale il teorema di Pitagora:

\[ \overline{OQ}^2 + \overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 =1 \tag{*} \]

Il valore è 1 perché \(\overline{OP}\) corrisponde al raggio della circonferenza unitaria, che è 1.

Radianti

In goniometria e trigonometria si introduce una nuova unità di misura: i radianti. L'idea alla base è quella di associare un angolo con la lunghezza dell'arco di circonferenza unitaria corrispondente. Ad esempio, considera l'angolo di 180°: l'arco corrispondente è metà della lunghezza totale della circonferenza. Dato che la circonferenza è lunga \(2 \pi r\) e il raggio della circonferenza unitaria è \(r=1\), 180° corrispondono a un arco di \(\frac{2 \pi}{2} = \pi \) radianti.

I radianti generalmente si indicano senza nessun simbolo. A volte è utile specificare quando si ha una misura in radianti, e in quel caso si usa il simbolo rad (e quindi può capitarti di leggere \(\pi \, \mathrm{rad} \) ). La misura di un generico angolo \(\alpha\) in gradi si può trasformare nella misura \(x\) in radianti usando la proporzione:

\[ \pi : 180^{\circ} =x : \alpha\]

Fig. 3. Misure di angoli in gradi e radianti.

Seno e coseno

Le coordinate del punto \(P\) nel paragrafo precedente sono estremamente importanti per definire due grandezze che descrivono gli angoli: il seno e il coseno.

Queste due grandezze sono importantissime per fare una lunga serie di calcoli: per alcuni angoli si possono calcolare piuttosto facilmente. Questi angoli si trovano spesso indicati come angoli noti o angoli notevoli.

Tabella 1. Angoli noti.

Per calcolare altri angoli ci si basa sugli angoli associati: angoli che si collegano ad altri, con seno e coseno noti, grazie a considerazioni geometriche.

Tangente, cotangente ed altre funzioni

Seno e coseno consentono di definire e calcolare altre funzioni trigonometriche:

• la tangente si definisce come il rapporto tra il seno e il coseno: \( \tan \alpha = \frac{ \sin \alpha}{\cos \alpha }\)
• la cotangente si definisce come il rapporto tra coseno e seno, è quindi l'inversa della tangente: \( \cot \alpha = \frac{ \cos \alpha}{\sin \alpha }\)
• la secante è l'inversa del coseno: \( \sec \alpha = \frac{1}{\cos \alpha }\)
• la cosecante è l'inversa del seno: \( \csc \alpha = \frac{1}{\sin \alpha }\)

Quella più usata in pratica è sicuramente la tangente: la ritrovi anche studiando l'equazione della retta sul piano cartesiano! Si dice spesso che il coefficiente angolare di una retta misura l'inclinazione rispetto all'asse delle ascisse: ma come? La risposta è: il coefficiente angolare \(m\) è la tangente dell'angolo tra l'asse \(x\) e la retta!

Relazione fondamentale della goniometria

Puoi notare che, a questo punto, la versione del teorema di Pitagora vista in \((*)\) nel paragrafo precedente si può scrivere in termini di seni e coseni: dato che \(\overline{OQ}=\cos \alpha\), \(\overline{PQ}=\sin \alpha\), si ha

\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha =1 \]

Questa versione del teorema di Pitagora è importantissima, tant'è che viene chiamata relazione fondamentale della goniometria. Mostra, ancora una volta, il legame molto stretto tra angoli e triangoli.

Ricordare questa relazione ti aiuterà in molti esercizi: dalle equazioni e disequazioni goniometriche al calcolo di particolari valori di seno e coseno.

Trigonometria e triangoli

Hai già visto che nella goniometria è molto facile ottenere dei triangoli una volta fissato un angolo. Storicamente, però, è successo il contrario: a partire da problemi pratici sui triangoli, la matematica è arrivata a studiare i singoli angoli e le funzioni associate. Ogni figura piana si può disegnare come fosse composta da tanti triangoli: calcolare lati e angoli dei triangoli consente di fare calcoli su qualsiasi figura.

La trigonometria ti servirà nello studio della fisica, ad esempio per scomporre i vettori. Non serve solo a questo, naturalmente: ha applicazioni pratiche in qualunque disciplina in cui serva misurare delle distanze, in particolare in topografia e in geodesia. Se vuoi fare una mappa di una città o di un territorio, la trigonometria è indispensabile! Oggi i calcoli sono svolti da strumenti automatici, ma qualcuno deve pur inserire le formule da usare nei programmi di calcolo, no?

Triangoli rettangoli

Come hai già visto nei paragrafi precedenti, i triangoli rettangoli hanno un ruolo speciale nella trigonometria: consentono di definire e calcolare seni e coseni. D'altra parte, anche le relazioni tra cateti e ipotenusa in un triangolo possono essere espressi tramite seni e coseni. Considera un triangolo rettangolo in cui un angolo misura \(\theta\), il cateto adiacente all'angolo è \(b\), il cateto opposto è \(a\) e l'ipotenusa è \(c\).

Fig. 4. Triangolo rettangolo.

Valgono le seguenti relazioni:

• \( a = c \sin \theta \)
• \( b = c \cos \theta \)
• \( \frac{a}{b} = \tan \theta \)

Triangoli qualunque

Il problema generale della trigonometria è risolvere un triangolo: ovvero trovarne lati e angoli non noti. Per fare questo si possono sfruttare diversi risultati importanti: forse i due più noti sono il teorema dei seni e il teorema del coseno. Entrambi questi teoremi sono ambientati in un triangolo qualunque, che ha lati \(a, b, c\) e angoli \(\alpha, \beta, \gamma\). Una precisazione: \(\alpha\) è sempre l'angolo opposto al lato \(a\), \(\beta\) è opposto al lato \(b\) e \(\gamma\) al lato \(c\). È molto importante mantenere questo ordine, altrimenti i teoremi non valgono!

Figura 5. Triangolo qualunque.

Teorema dei seni (o di Eulero)

\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{ \sin \gamma } \phantom{ caratteri invisibili tanto per spostare la formula a sinistra sotto il titolo} \]

Questo teorema mostra un'uguaglianza di tre rapporti: scritta così è comoda per l'enunciato di un teorema, ma non in pratica! Per gli esercizi conviene considerare solo due di queste quantità: vedrai quali confrontare di volta in volta, in base ai dati che hai.

Teorema del coseno (o di Carnot)

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \phantom{ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma caratteri invisibili}\]

Anche il teorema del coseno ha altre due versioni, in cui compaiono i coseni degli altri due angoli. Per ora basta questa!

Sia il teorema dei seni che quello del coseno hanno applicazioni dirette nella risoluzione dei triangoli: devi capire quale usare a seconda dei dati e delle incognite.

Goniometria e trigonometria: formule

Calcolare seni e coseni non è affatto facile. Gli angoli noti, su cui si possono fare ragionamenti geometrici, sono pochi: una possibile idea per sfruttare questi pochi dati è di combinarli in tutti i modi possibili. Ad esempio potresti chiederti come ricavare il seno di un angolo che è la somma, o la differenza, di due angoli noti. Per risolvere questi problemi puoi usare le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione e di bisezione che trovi nella tabella seguente.

Tabella 2. Formule goniometriche.