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Da allora il teorema di Pitagora è probabilmente quello con il maggior numero di dimostrazioni al mondo: non tutti gli autori di queste dimostrazioni furono matematici, anzi! Tra questi autori ci sono filosofi, poeti, agenti di cambio e presidenti degli Stati Uniti. Questo succede forse perché il teorema è piuttosto semplice: l'unico ingrediente richiesto è un triangolo rettangolo.
Fra i triangoli, sono rettangoli quelli che hanno un angolo retto. Il lato opposto all'angolo retto, che è anche il più lungo, viene chiamato ipotenusa, mentre i due lati adiacenti agli angoli retti vengono chiamati cateti.
Enunciato del teorema di Pitagora
L'enunciato del teorema è questo.
In un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.
Fig. 1. I quadrati sui lati di un triangolo rettangolo.
Se chiami \(a\) l'ipotenusa e \(b, c\) i due cateti, puoi esprimere il teorema in forma algebrica con la formula:
\[b^2+c^2=a^2\]
Dimostrazione del teorema di Pitagora
La dimostrazione che vedi qui sfrutta il concetto dei triangoli simili: non è l'unica possibile, anzi! Ci sono centinaia di altre dimostrazioni. Probabilmente sul tuo libro di testo ce n'è una diversa!
Considera un triangolo rettangolo \(ABC\). Diciamo che il vertice con l'angolo retto sia \(B\). Allora i cateti sono \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\) mentre l'ipotenusa è \(\overline{AC}\).
Fig. 2. Triangolo rettangolo.
Costruisci l'altezza relativa all'ipotenusa \(\overline{AC}\) tracciando la perpendicolare ad \(\overline{AC}\) che passa per \(B\). Chiama \(D\) il punto d'intersezione con l'ipotenusa (il piede dell'altezza). In questo modo, hai diviso l'ipotenusa come somma di due segmenti: \(\overline{AC}=\overline{AD}+ \overline{DC}\).
Fig. 3. Altezza relativa all'ipotenusa.
Considera ora i triangoli \(ABD\) e \(ABC\):
l'angolo in \(A\) è lo stesso angolo nei due triangoli;
per costruzione, l'angolo in \(D\) è retto;
quindi i due triangoli sono simili!
Le coppie di lati corrispondenti, mettendo al primo posto i lati di \(ABC\) e al secondo quelli di \(ABD\), sono:
\(\overline{AB}\) e \(\overline{AD}\): sono i cateti adiacenti all'angolo in \(A\);
\(\overline{AC}\) e \(\overline{AB}\): sono le ipotenuse dei due triangoli;
\(\overline{BC}\) e \(\overline{BD}\): i cateti opposti all'angolo in \(A\).
I lati corrispondenti sono in proporzione tra loro: in particolare,
\[ \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \;\;\; \Rightarrow \overline{AB}^2 = \overline{AD} \cdot \overline{AC} \tag{1} \]
In modo analogo possiamo dedurre che sono simili i triangoli \(BCD\) e \(ABC\):
l'angolo in \(C\) è lo stesso;
l'angolo in \(D\) è retto come l'angolo in \(B\);
e applicando la proporzionalità ai lati corrispondenti si ha
\[ \frac{\overline{DC}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \;\;\; \Rightarrow \overline{BC}^2 = \overline{CD} \cdot \overline{AC} \tag{2} \]
Ora calcola la somma dei quadrati dei cateti.
\[\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2\]
Sostituendo a questi valori quelli ottenuti in \((1)\) e \((2)\) otteniamo
\[\begin{align}\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 & = (\overline{AD}\cdot\overline{AC}) + (\overline{DC}\cdot\overline{AC}) \\& = \overline{AC}(\overline{AD}+\overline{CD}) \\& = \overline{AC}\cdot \overline{AC} = \overline{AC}^2\end{align}\]
E quindi abbiamo provato che
\[\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 =\overline{AC}^2\]
Teorema di Pitagora: formule inverse
Il teorema stabilisce un'equivalenza tra i quadrati dell'ipotenusa e la somma dei quadrati sui cateti: scritto in formula,
\[ \mathrm{Ipotenusa}^2 = \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2\]
Questo si può sfruttare per calcolare la misura dell'ipotenusa se sono noti i cateti: basta estrarre la radice quadrata:
\[ \mathrm{Ipotenusa} = \sqrt{ \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2}\]
Dato un triangolo rettangolo di cui sono noti i cateti \(b =5 \, cm, c = 12 \, cm\) trova l'ipotenusa \(a\).
Basta applicare il teorema di Pitagora:
\[ a = \sqrt{b^2+c^2}= \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25+144}= \sqrt{169} =13 \, cm \]
Le formule inverse sono quelle che consentono di calcolare uno dei cateti: diciamo di trovare il primo cateto. Facendo un paio di passaggi algebrici sulla formula del teorema si trova:
\[\begin{align}\mathrm{Ipotenusa}^2 &= \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2 \\\mathrm{Ipotenusa}^2 - \mathrm{Cateto_2}^2 & = \mathrm{Cateto_1}^2\end{align}\]
A questo punto:
\[ \mathrm{Cateto_1} = \sqrt{ \mathrm{Ipotenusa}^2 - \mathrm{Cateto_2}^2}\]
Ora, nota come nella formula il ruolo dei cateti sia esattamente lo stesso: non è importante quale sia il cateto 1 e quale il cateto 2!
Dato un triangolo rettangolo di cui è nota l'ipotenusa \(a=17 \, cm \) e il cateto \(b=15 \, cm\), trovare il cateto mancante.
Devi usare la formula inversa: il cateto mancante è la radice del quadrato dell'ipotenusa meno il quadrato del cateto noto:
\[ c= \sqrt{a^2-b^2} = \sqrt{17^2 - 15^2}= \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8 \, cm\]
Triangolo rettangolo e teorema di Pitagora
In matematica ci si chiede spesso se vale il viceversa di un'affermazione: il "viceversa" è quello che ottieni scambiando la tesi e l'ipotesi. Nel caso del teorema di Pitagora, chiamiamo \(a, b,c \) i lati del triangolo, e diciamo che \(c\) sia il lato più lungo. Allora
l'ipotesi è che il triangolo sia rettangolo;
la tesi è che valga l'uguaglianza \(a^2+b^2=c^2\).
Il viceversa quindi è l'affermazione in cui
l'ipotesi è che valga l'uguaglianza \(a^2+b^2=c^2\);
la tesi è che il triangolo sia rettangolo.
Questo non è scontato, perché in generale non è vero: scambiare di posto ipotesi e tesi non garantisce di fare affermazioni vere. Nel caso del teorema di Pitagora, invece, è vero anche il viceversa! Si ottiene un nuovo teorema che potremmo enunciare così:
Se i lati di un triangolo verificano l'uguaglianza pitagorica \(a^2+b^2=c^2\), allora il triangolo è rettangolo.
In pratica, il teorema di Pitagora si può usare nei casi in cui è facile misurare un angolo retto, ma non si può misurare direttamente uno dei lati. Il viceversa invece si può usare se si vuole verificare quando un angolo è retto e si possono misurare facilmente le lunghezze, ma non c'è un modo pratico di misurare gli angoli.
Ma non finisce qui: anche gli altri tipi di triangoli si possono identificare a partire dal risultato che si ottiene nell'uguaglianza pitagorica!
Il triangolo è rettangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è equivalente alla somma dei quadrati dei lati più corti, cioè se \[a^2+b^2=c^2\]
Fig. 4. Triangolo rettangolo
Il triangolo è acutangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è minore della somma dei quadrati degli altri due lati, cioè se \[c^2 < a^2+b^2\]
Fig. 5. Triangolo acutangolo.
Il triangolo è ottusangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è maggiore della somma dei quadrati degli altri due lati, cioè se vale se \[c^2 > a^2+b^2\]
Fig. 6. Triangolo ottusangolo.
Problemi sul teorema di Pitagora
Trova la lunghezza di \(\overline{XY}\).
Fig. 7. Triangolo rettangolo con lato mancante.
La figura mostra un triangolo in cui un lato misura 10 cm e uno 8 cm. L'ipotenusa si identifica subito a partire dall'angolo retto: è il lato opposto ("di fronte"), in questo caso quello che misura 10 cm. Il lato mancante è un cateto, che si può trovare usando la formula inversa.
\[\overline{XY} = \sqrt{\overline{ZX}^2-\overline{YZ}^2} = \sqrt{10^2 -8^2} = \sqrt{100-64} =\sqrt{36} = 6 \, cm \]
Dimostrare che il triangolo di lati \(12 \, cm, 35\, cm, 37 \, cm\) è rettangolo.
Per risolvere questo problema basta vedere se il triangolo verifica il teorema di Pitagora: il quadrato del lato più lungo è \(37^2 =1369\), i quadrati dei lati più corti sono \(12^2=144\) e \(35^2=1225\). Sommandoli
\[12^2+35^2=144+1225=1369=37^2\]
Il triangolo quindi è rettangolo.
Dato un triangolo di lati \(5 \, cm, 7 \, cm, 9 \, cm \) stabilire se è acutangolo, rettangolo od ottusangolo.
Basta applicare il viceversa del teorema di Pitagora: bisogna vedere se il quadrato del lato più lungo è uguale, alla somma degli altri due quadrati. Il quadrato del lato più lungo è \(9^2 = 81\), mentre gli altri due sono \(5^2=25\) e \(7^2=49\): sommando i quadrati dei lati più corti si trova \(25+49=74\) che è minore di \(81\).
Quindi vale
\[ a^2+b^2 < c^2\]
Il triangolo quindi è ottusangolo.
Non sempre il testo di un problema ti suggerisce di usare il teorema di Pitagora: a volte bisogna ragionare un po' per capire come usarlo. Nei test d'ingresso per l'università a volte si trovano dei quesiti come il seguente.
Una scala lunga 2,5 m si trova appoggiata a una parete: il punto in cui tocca la parete si trova ad un altezza di 2,4 m. Un passante la urta, spostando di 80 cm più lontano dalla parete il punto in cui la scala tocca il terreno. A che altezza arriva, ora, la scala?
In questo problema è fondamentale capire come rappresentare i dati importanti: fai un disegno e assegna una lettera a tutti i punti nominati. Come prima cosa rappresenta il terreno e la parete: tra i due c'è un angolo di 90°. La scala nella posizione si può rappresentare con un segmento \(\overline{OR}\), dove \(O\) è il punto in cui la scala tocca la parete e \(R\) è il punto di appoggio con il terreno. Poi la scala viene urtata: l'estremità che tocca il terreno arriva nel punto \(T\), quella sulla parete nel punto \(S\).
Fig. 8. In verde, tra i punti O e R, la posizione iniziale della scala. In rosso, tra i punti S e T, la posizione finale.
La posizione iniziale della scala quindi è rappresentata dal triangolo \(MRO\): sappiamo che \(\overline{OR} = 2,5 \,m\) e \(\overline{OM}= 2,4 \, m\). Il testo inoltre ci dice che la scala si sposta di \(80 \, cm =0,8 \, m\) dalla parete: questa è la distanza \(\overline{RT}\).
Il problema chiede di trovare \(\overline{MS}\): per farlo si può applicare il teorema di Pitagora al triangolo \(MTS\). L'ipotenusa è sempre di \(2,5 \, m\) perché la scala non ha cambiato la sua lunghezza; il cateto \(\overline{MT}\) si può trovare sommando \(\overline{MR}\) con il dato noto \(\overline{RT} = 0,8 \, m\).
Come prima cosa quindi bisogna trovare \(\overline{RM}\):
\[\overline{MR} = \sqrt{\overline{OR} ^2 - \overline{OM}^2 }=\sqrt{(2,5)^2-(2,4)^2} = \sqrt{6,25 - 5,76} = \sqrt{0,49}=0,7 \, m\]
Ora puoi trovare \(\overline{MT} = \overline{MR} + \overline{RT} = 0,7 \, m + 0,8 \, m = 1,5 \, m\).
Infine calcoli \(\overline{MS}\) per dare la soluzione al problema:
\[\overline{MS} = \sqrt{(2,5)^2 - (1,5)^2} = \sqrt{6,25-2,25}= \sqrt{4} = 2 \, m\]
L'altezza finale della scala quindi è di \(2 \, m\).
Teorema di Pitagora - Punti chiave
- In un triangolo rettangolo il lato opposto all'angolo retto, che è anche il lato più lungo, si chiama ipotenusa; i due lati adiacenti all'angolo retto, che sono più corti, si chiamano cateti.
- Il teorema di Pitagora dice che il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. In una formula, se \(a\) è l'ipotenusa, \(a^2=b^2+c^2\).
- Una possibilità per dimostrare il teorema di Pitagora è sfruttare i triangoli simili, ma ci sono molte altre dimostrazioni ugualmente corrette.
- Il teorema di Pitagora consente di calcolare l'ipotenusa come \(a=\sqrt{b^2+c^2}\). È possibile anche sfruttare le formule inverse per calcolare i cateti, ad esempio trovando \(b=\sqrt{a^2-c^2}\).
- Per un triangolo, verificare l'uguaglianza pitagorica è equivalente all'essere rettangolo.
- In un triangolo acutangolo, il quadrato del lato più lungo è minore della somma dei quadrati dei lati più corti.
- In un triangolo ottusangolo, il quadrato del lato più lungo è maggiore della somma dei quadrati dei lati più corti.
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Domande frequenti riguardo Teorema di Pitagora
Come si calcola l'ipotenusa con il teorema di Pitagora?
Il teorema di Pitagora consente di calcolare l'ipotenusa se sono noti i cateti. Se chiamo i cateti \(b\) e \(c\), allora l'ipotenusa si può calcolare facendo la radice quadrata dei cateti, in formule
\[a=\sqrt{b^2+c^2\]
Come si applica il teorema di Pitagora sul rettangolo?
Il teorema di Pitagora consente di calcolare la diagonale di un rettangolo: se \(b, h\) sono la base e l'altezza del rettangolo, la diagonale \(d\) è l'ipotenusa del triangolo rettangolo che ha \(b\) per base e \(h\) per altezza e quindi
\[d=\sqrt{b^2+h^2}\]
Qual è la regola del teorema di Pitagora?
Il teorema di Pitagora dice che il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Come si calcola un lato con il teorema di Pitagora?
Se il lato da trovare è l'ipotenusa, bisogna sommare i quadrati dei due cateti e poi calcolare la radice quadrata del risultato.
\[ \mathrm{Ipotenusa} = \sqrt{ \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2}\]
Se il lato da trovare è un cateto, bisogna togliere il quadrato dell'altro cateto dal quadrato dell'ipotenusa e poi calcolare la radice quadrata della differenza.
\[ \mathrm{Cateto_1} = \sqrt{ \mathrm{Ipotenusa}^2 - \mathrm{Cateto_2}^2}\]
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