Teorema di Pitagora

Enunciato del teorema di Pitagora

L'enunciato del teorema è questo.

In un triangolo rettangolo, la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa.

Fig. 1. I quadrati sui lati di un triangolo rettangolo.

Se chiami \(a\) l'ipotenusa e \(b, c\) i due cateti, puoi esprimere il teorema in forma algebrica con la formula:

\[b^2+c^2=a^2\]

Dimostrazione del teorema di Pitagora

La dimostrazione che vedi qui sfrutta il concetto dei triangoli simili: non è l'unica possibile, anzi! Ci sono centinaia di altre dimostrazioni. Probabilmente sul tuo libro di testo ce n'è una diversa!

Considera un triangolo rettangolo \(ABC\). Diciamo che il vertice con l'angolo retto sia \(B\). Allora i cateti sono \(\overline{AB}\) e \(\overline{BC}\) mentre l'ipotenusa è \(\overline{AC}\).

Fig. 2. Triangolo rettangolo.

Costruisci l'altezza relativa all'ipotenusa \(\overline{AC}\) tracciando la perpendicolare ad \(\overline{AC}\) che passa per \(B\). Chiama \(D\) il punto d'intersezione con l'ipotenusa (il piede dell'altezza). In questo modo, hai diviso l'ipotenusa come somma di due segmenti: \(\overline{AC}=\overline{AD}+ \overline{DC}\).

Fig. 3. Altezza relativa all'ipotenusa.

Considera ora i triangoli \(ABD\) e \(ABC\):

• l'angolo in \(A\) è lo stesso angolo nei due triangoli;

• per costruzione, l'angolo in \(D\) è retto;

quindi i due triangoli sono simili!

Le coppie di lati corrispondenti, mettendo al primo posto i lati di \(ABC\) e al secondo quelli di \(ABD\), sono:

• \(\overline{AB}\) e \(\overline{AD}\): sono i cateti adiacenti all'angolo in \(A\);

• \(\overline{AC}\) e \(\overline{AB}\): sono le ipotenuse dei due triangoli;

• \(\overline{BC}\) e \(\overline{BD}\): i cateti opposti all'angolo in \(A\).

I lati corrispondenti sono in proporzione tra loro: in particolare,

\[ \frac{\overline{AD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{AC}} \;\;\; \Rightarrow \overline{AB}^2 = \overline{AD} \cdot \overline{AC} \tag{1} \]

In modo analogo possiamo dedurre che sono simili i triangoli \(BCD\) e \(ABC\):

• l'angolo in \(C\) è lo stesso;

• l'angolo in \(D\) è retto come l'angolo in \(B\);

e applicando la proporzionalità ai lati corrispondenti si ha

\[ \frac{\overline{DC}}{\overline{BC}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \;\;\; \Rightarrow \overline{BC}^2 = \overline{CD} \cdot \overline{AC} \tag{2} \]

Ora calcola la somma dei quadrati dei cateti.

\[\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2\]

Sostituendo a questi valori quelli ottenuti in \((1)\) e \((2)\) otteniamo

\[\begin{align}\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 & = (\overline{AD}\cdot\overline{AC}) + (\overline{DC}\cdot\overline{AC}) \\& = \overline{AC}(\overline{AD}+\overline{CD}) \\& = \overline{AC}\cdot \overline{AC} = \overline{AC}^2\end{align}\]

E quindi abbiamo provato che

\[\overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 =\overline{AC}^2\]

Teorema di Pitagora: formule inverse

Il teorema stabilisce un'equivalenza tra i quadrati dell'ipotenusa e la somma dei quadrati sui cateti: scritto in formula,

\[ \mathrm{Ipotenusa}^2 = \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2\]

Questo si può sfruttare per calcolare la misura dell'ipotenusa se sono noti i cateti: basta estrarre la radice quadrata:

\[ \mathrm{Ipotenusa} = \sqrt{ \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2}\]

Le formule inverse sono quelle che consentono di calcolare uno dei cateti: diciamo di trovare il primo cateto. Facendo un paio di passaggi algebrici sulla formula del teorema si trova:

\[\begin{align}\mathrm{Ipotenusa}^2 &= \mathrm{Cateto_1}^2 + \mathrm{Cateto_2}^2 \\\mathrm{Ipotenusa}^2 - \mathrm{Cateto_2}^2 & = \mathrm{Cateto_1}^2\end{align}\]

A questo punto:

\[ \mathrm{Cateto_1} = \sqrt{ \mathrm{Ipotenusa}^2 - \mathrm{Cateto_2}^2}\]

Ora, nota come nella formula il ruolo dei cateti sia esattamente lo stesso: non è importante quale sia il cateto 1 e quale il cateto 2!

Triangolo rettangolo e teorema di Pitagora

In matematica ci si chiede spesso se vale il viceversa di un'affermazione: il "viceversa" è quello che ottieni scambiando la tesi e l'ipotesi. Nel caso del teorema di Pitagora, chiamiamo \(a, b,c \) i lati del triangolo, e diciamo che \(c\) sia il lato più lungo. Allora

• l'ipotesi è che il triangolo sia rettangolo;

• la tesi è che valga l'uguaglianza \(a^2+b^2=c^2\).

Il viceversa quindi è l'affermazione in cui

• l'ipotesi è che valga l'uguaglianza \(a^2+b^2=c^2\);

• la tesi è che il triangolo sia rettangolo.

Questo non è scontato, perché in generale non è vero: scambiare di posto ipotesi e tesi non garantisce di fare affermazioni vere. Nel caso del teorema di Pitagora, invece, è vero anche il viceversa! Si ottiene un nuovo teorema che potremmo enunciare così:

Se i lati di un triangolo verificano l'uguaglianza pitagorica \(a^2+b^2=c^2\), allora il triangolo è rettangolo.

In pratica, il teorema di Pitagora si può usare nei casi in cui è facile misurare un angolo retto, ma non si può misurare direttamente uno dei lati. Il viceversa invece si può usare se si vuole verificare quando un angolo è retto e si possono misurare facilmente le lunghezze, ma non c'è un modo pratico di misurare gli angoli.

Ma non finisce qui: anche gli altri tipi di triangoli si possono identificare a partire dal risultato che si ottiene nell'uguaglianza pitagorica!

• Il triangolo è rettangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è equivalente alla somma dei quadrati dei lati più corti, cioè se \[a^2+b^2=c^2\]

Fig. 4. Triangolo rettangolo

• Il triangolo è acutangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è minore della somma dei quadrati degli altri due lati, cioè se \[c^2 < a^2+b^2\]

Fig. 5. Triangolo acutangolo.

• Il triangolo è ottusangolo se e solo se il quadrato del lato più lungo è maggiore della somma dei quadrati degli altri due lati, cioè se vale se \[c^2 > a^2+b^2\]

Fig. 6. Triangolo ottusangolo.

Problemi sul teorema di Pitagora

Non sempre il testo di un problema ti suggerisce di usare il teorema di Pitagora: a volte bisogna ragionare un po' per capire come usarlo. Nei test d'ingresso per l'università a volte si trovano dei quesiti come il seguente.