Quadrilateri

Quadrilateri concavi e convessi

Concavo e convesso sono uno l'opposto dell'altro. In italiano il termine conca indica un avvallamento, una rientranza: intuitivamente, un oggetto è convesso quando non ha nessuna "conca", ed è concavo quando le ha. La definizione matematica è un po' più precisa.

Nella figura sotto vedi un esempio: il quadrilatero $ABCD$ è concavo. Infatti alcuni dei segmenti che congiungono i suoi punti non sono interni: c'è precisamente una "conca" nella zona attorno al punto $A$. Questo non vuol dire che tutti i segmenti che congiungono punti escano dalla figura: il segmento $\overline{OP}$ è interno. La figura è concava se almeno un segmento che collega due suoi punti è esterno. È convessa se tutti i segmenti che collegano due dei suoi punti sono interni, come succede al quadrilatero $EFGH$.

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Come vedi dal disegno, un quadrilatero concavo deve avere almeno un angolo maggiore di 180°: nel primo disegno, è l'angolo in $\hat{A}$. Un angolo di questo tipo si chiama appunto... angolo concavo! Puoi rivedere la definizione di quest'angolo anche nell'articolo sulla geometria piana.

Somma degli angoli interni di un quadrilatero

È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°: cosa succede nei quadrilateri? La somma degli angoli interni in un quadrilatero è sempre di un angolo giro, cioè di 360°. Se ti chiedi perché, è un'ottima domanda: ci sono tante dimostrazioni diverse. La più semplice, probabilmente, è quella di sfruttare una diagonale. Considera, ad esempio, la diagonale $\overline{FH}$ nella figura 2: questa taglia il quadrilatero in due triangoli, $FGH$ e $FHE$. Puoi calcolare la somma degli angoli interni di $EFGH$ come "somma delle somme" nei due triangoli: 180°+180°=360°.

Classificazione dei quadrilateri

Il fatto che la somma degli angoli interni sia 360° fa sì che un quadrilatero possa avere più di un angolo retto: anzi, possono essere retti anche tutti gli angoli. Questo può suggerire un'idea per classificare i quadrilateri: dividere quelli che hanno angoli retti da quelli che non li hanno. Un'altra idea può essere studiare se ci sono lati uguali; oppure studiare se ci sono coppie di lati paralleli. Un criterio che sembra più strano è quello di studiare se le diagonali sono perpendicolari tra loro oppure no.

Tutte queste idee sono sfruttate per classificare i quadrilateri!

• un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;

• un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;

• un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;

• un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;

• un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;

• un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.

Puoi notare come certe caratteristiche siano presenti in più quadrilateri: ad esempio, il parallelogramma ha due lati paralleli. Significa che è anche un trapezio? E il quadrato ha quattro lati uguali: allora è anche un rombo? La risposta è sì in entrambi i casi! Le relazioni di inclusione si possono rappresentare molto più brevemente con il diagramma di Venn che vedi di seguito.

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I trapezi e i deltoidi sono i quadrilateri con le proprietà più generiche: questo significa che possono essere suddivisi ulteriormente.

Trapezio

La proprietà che definisce il trapezio è quella di avere due lati paralleli. In generale, non ci sono lati uguali, e quindi il trapezio risulta scaleno. Potrebbe esserci un angolo retto: in questo caso si dice che il trapezio è rettangolo. È possibile che un trapezio rettangolo sia anche scaleno, come nell'illustrazione sotto.

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Quando i due lati obliqui sono uguali, si dice che il trapezio è isoscele. In questo caso anche le diagonali sono congruenti.

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Deltoide

Questo è il termine geometrico con cui si descrive la forma dell'aquilone. O meglio: la forma dell'aquilone corrisponde a un deltoide convesso. Nella definizione, però, non è richiesto di essere convesso: un deltoide può anche essere concavo!

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Quadrilatero: regolare o irregolare?

I quadrilateri sono poligoni e quindi valgono gli stessi criteri:

Un quadrilatero è regolare quando sia i suoi lati che i suoi angoli sono tutti congruenti tra loro.

Di tutti i quadrilateri che hai visto, quindi, l'unico regolare è il quadrato: tutti gli altri sono irregolari.

Quadrilateri inscritti e circoscritti

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Il problema, dato un poligono, è di capire se è possibile costruire la circonferenza a cui è inscritto o circoscritto: cioè, capire se il poligono è inscrivibile o circoscrivibile. Per fortuna, i criteri da verificare con i quadrilateri sono più semplici!

Teorema

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari.

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Questo teorema deriva dalla relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza:

l'angolo al centro è sempre il doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente.

Considera la figura con il quadrilatero $\overline{ABCD}$: gli angoli $\alpha$, nel vertice $A$, e $\gamma$ , nel vertice $B$, sono opposti tra loro, come nelle ipotesi del teorema.

L'angolo $\alpha$ è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro $\delta$. Quindi $\alpha =2\delta$.

Lo stesso vale per gli angoli $\gamma$ e $\beta$.

D'altra parte, $\beta$ e $\delta$ sono esplementari: se sommati, danno l'angolo giro. Questo significa che

$$\alpha +\gamma =\frac{\delta }{2}+\frac{\delta }{2}=\frac{\delta +\beta }{2}=\frac{360°}{2}=180°$$

Il criterio per capire se un poligono è circoscrivibile, invece, riguarda i lati.

Teorema

Un poligono è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.

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Anche in questo caso fare un disegno aiuta a capire l'idea per dimostrare il teorema. Considera il quadrilatero $KLMN$ circoscritto alla circonferenza. Chiama $J$ il punto di tangenza nel lato $\overline{KL}$ e $I$ il punto di tangenza nel lato $\overline{NK}$. I punti di tangenza $J$ e $I$ sono simmetrici rispetto a $K$ per le proprietà generali delle tangenti a una curva da un punto esterno. Quindi i segmenti $\overline{KJ}$ e $\overline{IK}$ sono uguali! Ripetendo il ragionamento trovi che

$$\overline{JL}=\overline{LH},\overline{HM}=\overline{MQ},\overline{QN}=\overline{NI}$$

Sostituendoli nella somma, si ha:

$$\begin{array}{rl}\overline{KL}& +\overline{MN}=\\ \overline{KJ}+\overline{JL}& +\overline{MQ}+\overline{QN}=\\ \overline{KI}+\overline{LH}& +\overline{HM}+\overline{IN}=\\ \overline{KI}+\overline{IN}& +\overline{LH}+\overline{HM}=\\ \overline{KN}& +\overline{LM}\end{array}$$

Area dei quadrilateri: formule

L'area è una misura dello spazio bidimensionale racchiuso da una figura. Ognuno dei quadrilateri visti ha una formula specifica.

Spesso negli esercizi bisogna calcolare anche il perimetro o le diagonali oltre all'area. In generale, per farlo devi sfruttare il teorema di Pitagora e identificare un triangolo rettangolo utile all'interno della figura.

Trova area e perimetro del trapezio in figura.

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Fig. 23. Area di un trapezio.

Soluzione

La base maggiore del trapezio è $a=21cm$, mentre la base minore è $b=15cm$. L'altezza è $h=13cm$.

L'area si trova sostituendo queste grandezze nella formula:$$A=\frac{(a+b)\cdot h}{2}=\frac{(15+21)\cdot 13}{2}=\frac{36\cdot 13}{2}=18\cdot 13=234c{m}^2$$

Il perimetro del trapezio è semplicemente la somma dei lati:

$$P=15cm+17cm+21cm+17cm=70cm$$

Trova la lunghezza della seconda diagonale e del lato di un rombo di area 123.5 cm².

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Fig. 24. Rombo

Per trovare la diagonale puoi invertire la formula dell'area: se

$$A=\frac{d_1\cdot d_2}{2}$$

allora

$$d_2=\frac{2A}{d_1}=\frac{2\cdot 123,5}{13}=\frac{247}{13}=19cm$$

Per trovare il lato si può considerare il triangolo rettangolo che ha per cateti le mezze diagonali: l'ipotenusa in questo caso è il lato del rombo.

$$l=\sqrt{(6,5{)}^2+(9,5{)}^2}=\sqrt{42,25+90,25}=\sqrt{132,5}\approx 11,5cm$$

Il perimetro è la somma dei quattro lati:

$$P=l+l+l+l=4l\approx 4\cdot 11,5cm=46cm$$