Quadrilateri

Quadrilateri concavi e convessi

Concavo e convesso sono uno l'opposto dell'altro. In italiano il termine conca indica un avvallamento, una rientranza: intuitivamente, un oggetto è convesso quando non ha nessuna "conca", ed è concavo quando le ha. La definizione matematica è un po' più precisa.

Nella figura sotto vedi un esempio: il quadrilatero \(ABCD\) è concavo. Infatti alcuni dei segmenti che congiungono i suoi punti non sono interni: c'è precisamente una "conca" nella zona attorno al punto \(A\). Questo non vuol dire che tutti i segmenti che congiungono punti escano dalla figura: il segmento \(\overline{OP}\) è interno. La figura è concava se almeno un segmento che collega due suoi punti è esterno. È convessa se tutti i segmenti che collegano due dei suoi punti sono interni, come succede al quadrilatero \(EFGH\).

Fig. 3. Quadrilatero concavo e convesso.

Come vedi dal disegno, un quadrilatero concavo deve avere almeno un angolo maggiore di 180°: nel primo disegno, è l'angolo in \(\hat{A}\). Un angolo di questo tipo si chiama appunto... angolo concavo! Puoi rivedere la definizione di quest'angolo anche nell'articolo sulla geometria piana.

Somma degli angoli interni di un quadrilatero

È noto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°: cosa succede nei quadrilateri? La somma degli angoli interni in un quadrilatero è sempre di un angolo giro, cioè di 360°. Se ti chiedi perché, è un'ottima domanda: ci sono tante dimostrazioni diverse. La più semplice, probabilmente, è quella di sfruttare una diagonale. Considera, ad esempio, la diagonale \(\overline{FH}\) nella figura 2: questa taglia il quadrilatero in due triangoli, \(FGH\) e \(FHE\). Puoi calcolare la somma degli angoli interni di \(EFGH\) come "somma delle somme" nei due triangoli: 180°+180°=360°.

Classificazione dei quadrilateri

Il fatto che la somma degli angoli interni sia 360° fa sì che un quadrilatero possa avere più di un angolo retto: anzi, possono essere retti anche tutti gli angoli. Questo può suggerire un'idea per classificare i quadrilateri: dividere quelli che hanno angoli retti da quelli che non li hanno. Un'altra idea può essere studiare se ci sono lati uguali; oppure studiare se ci sono coppie di lati paralleli. Un criterio che sembra più strano è quello di studiare se le diagonali sono perpendicolari tra loro oppure no.

Tutte queste idee sono sfruttate per classificare i quadrilateri!

• un trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli;

• un parallelogramma è un quadrilatero con due coppie di lati paralleli;

• un rettangolo è un quadrilatero con tutti gli angoli retti;

• un deltoide è un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e due coppie di lati consecutivi uguali;

• un rombo è un quadrilatero con i lati tutti uguali tra loro;

• un quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali tra loro e tutti gli angoli uguali tra loro.

Puoi notare come certe caratteristiche siano presenti in più quadrilateri: ad esempio, il parallelogramma ha due lati paralleli. Significa che è anche un trapezio? E il quadrato ha quattro lati uguali: allora è anche un rombo? La risposta è sì in entrambi i casi! Le relazioni di inclusione si possono rappresentare molto più brevemente con il diagramma di Venn che vedi di seguito.

Fig. 10. Classificazione dei quadrilateri.

I trapezi e i deltoidi sono i quadrilateri con le proprietà più generiche: questo significa che possono essere suddivisi ulteriormente.

Trapezio

La proprietà che definisce il trapezio è quella di avere due lati paralleli. In generale, non ci sono lati uguali, e quindi il trapezio risulta scaleno. Potrebbe esserci un angolo retto: in questo caso si dice che il trapezio è rettangolo. È possibile che un trapezio rettangolo sia anche scaleno, come nell'illustrazione sotto.

Fig. 11. Trapezio rettangolo

Quando i due lati obliqui sono uguali, si dice che il trapezio è isoscele. In questo caso anche le diagonali sono congruenti.

Fig. 12. Trapezio isoscele

Deltoide

Questo è il termine geometrico con cui si descrive la forma dell'aquilone. O meglio: la forma dell'aquilone corrisponde a un deltoide convesso. Nella definizione, però, non è richiesto di essere convesso: un deltoide può anche essere concavo!

Fig 13. Deltoide concavo.

Quadrilatero: regolare o irregolare?

I quadrilateri sono poligoni e quindi valgono gli stessi criteri:

Un quadrilatero è regolare quando sia i suoi lati che i suoi angoli sono tutti congruenti tra loro.

Di tutti i quadrilateri che hai visto, quindi, l'unico regolare è il quadrato: tutti gli altri sono irregolari.

Quadrilateri inscritti e circoscritti

Fig. 14. Quadrilatero inscritto in una circonferenza a sinistra. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza a destra.

Il problema, dato un poligono, è di capire se è possibile costruire la circonferenza a cui è inscritto o circoscritto: cioè, capire se il poligono è inscrivibile o circoscrivibile. Per fortuna, i criteri da verificare con i quadrilateri sono più semplici!

Teorema

Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se i suoi angoli opposti sono supplementari.

Fig. 15. Quadrilatero inscritto in una circonferenza con angoli opposti in evidenza.

Questo teorema deriva dalla relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza:

l'angolo al centro è sempre il doppio dell'angolo alla circonferenza corrispondente.

Considera la figura con il quadrilatero \(\overline{ABCD}\): gli angoli \(\alpha\), nel vertice \(A\), e \(\gamma\) , nel vertice \(B\), sono opposti tra loro, come nelle ipotesi del teorema.

L'angolo \(\alpha\) è l'angolo alla circonferenza corrispondente all'angolo al centro \(\delta\). Quindi \(\alpha = 2 \delta\).

Lo stesso vale per gli angoli \(\gamma\) e \(\beta\).

D'altra parte, \(\beta\) e \(\delta\) sono esplementari: se sommati, danno l'angolo giro. Questo significa che

\[ \alpha + \gamma = \frac{\delta}{2}+ \frac{\delta}{2} = \frac{\delta + \beta}{2} =\frac{360°}{2} = 180° \]

Il criterio per capire se un poligono è circoscrivibile, invece, riguarda i lati.

Teorema

Un poligono è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se le somme delle lunghezze dei lati opposti sono uguali.

Fig. 16. Quadrilatero circoscritto a una circonferenza.

Anche in questo caso fare un disegno aiuta a capire l'idea per dimostrare il teorema. Considera il quadrilatero \(KLMN\) circoscritto alla circonferenza. Chiama \(J\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{KL}\) e \(I\) il punto di tangenza nel lato \(\overline{NK}\). I punti di tangenza \(J\) e \(I\) sono simmetrici rispetto a \(K\) per le proprietà generali delle tangenti a una curva da un punto esterno. Quindi i segmenti \(\overline{KJ}\) e \(\overline{IK}\) sono uguali! Ripetendo il ragionamento trovi che

\[ \overline{JL} = \overline{LH}, \;\; \overline{HM} = \overline{MQ} ,\;\; \overline{QN} = \overline{NI}\]

Sostituendoli nella somma, si ha:

\[ \begin{align} \overline{KL} &+ \overline{MN} = \\\overline{KJ} + \overline{JL} &+ \overline{MQ}+\overline{QN} = \\\overline{KI} + \overline{LH} &+ \overline{HM}+\overline{IN} = \\\overline{KI} + \overline{IN} &+ \overline{LH} + \overline{HM} = \\\overline{KN} &+ \overline{LM} \end{align} \]

Area dei quadrilateri: formule

L'area è una misura dello spazio bidimensionale racchiuso da una figura. Ognuno dei quadrilateri visti ha una formula specifica.

Spesso negli esercizi bisogna calcolare anche il perimetro o le diagonali oltre all'area. In generale, per farlo devi sfruttare il teorema di Pitagora e identificare un triangolo rettangolo utile all'interno della figura.