Geometria analitica

Il piano cartesiano: il palcoscenico della geometria analitica

La geometria analitica descrive gli oggetti in un piano bidimensionale, chiamato piano cartesiano, ed è per questo nota anche come geometria cartesiana. Il ragionamento è simile a quello del gioco della battaglia navale. Se ci hai mai giocato, forse ti ricorderai il grafico in cui si trovano punti incrociando un’asse orizzontale con lettere da A a J, e un'asse verticale con numeri da 1 a 10.

Nel piano cartesiano, invece, i due assi che si intersecano non sono limitati a una decina di caselle, ma rappresentano infiniti numeri reali, e in entrambi i versi (cioè sia i numeri positivi, che negativi).

Chiaramente non si possono disegnare infiniti punti, ma si usa una freccia per indicare questa idea, e possiamo scegliere noi come spaziare i numeri su ogni asse, in base alle esigenze dell’esercizio. Solitamente in geometria analitica useremo una griglia più simile alla prima delle immagini che seguono.

Figura 1. Il piano cartesiano.

Figura 2. Piano cartesiano in cui gli assi hanno una scala differente

Questo cosiddetto sistema di coordinate permette di dare a tutti i punti dello spazio una rappresentazione propria, data da una coppia di numeri, chiamate coordinate.

Gli assi cartesiani orizzontale e verticale sono quasi sempre contrassegnati rispettivamente come asse delle ascisse \(\vec{x}\), e delle ordinate \(\vec{y}\). Le coordinate di un punto generico sul piano saranno denotate quindi da una coppia ordinata \((x,y)\), dove a \(x\) possiamo sostituire un valore qualsiasi, e così anche a \(y\).

L’intersezione (cioè il punto d’incontro) dei due assi si chiama origine, e si indica solitamente con la lettera O. Le quattro porzioni di piano in cui gli assi suddividono il piano cartesiano si chiamano quadranti. Si numerano da 1 a 4, in senso antiorario, essendo il primo quadrante quello delimitato dalle \(x\) e \(y\) positive.

Se guardi bene, dalle mappe ai grafici, fino ai pixel dello schermo su cui stai leggendo questo articolo, i sistemi di coordinate sono ovunque nella nostra vita quotidiana, e la vita non sarebbe la stessa senza di essi!

Luoghi geometrici e sezioni coniche

Lo studio della geometria analitica non si limita ai punti, ma a insiemi di punti precisi, detti anche luoghi geometrici, che sono le forme che conosci come linee o figure. La geometria analitica ci fornisce gli strumenti per misurarli con unità precise e attribuirne equazioni, di studiare le relazioni numeriche tra varie figure, e di trovare comportamenti tipici. In questo, fa un passo in avanti rispetto alla geometria pura.

Le figure piane principali sono l’ellisse, l’iperbole e la parabola e sono chiamate sezioni coniche, o coniche, perché si possono ottenere tutte dall’intersezione di un cono tridimensionale e un piano.

Figura 4. Le possibili intersezioni tra un cono tridimensionale e un piano: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole.

Un concetto di fondamentale importanza per la geometria analitica, e di cui dovrai impadronirti, è saper stabilire se un punto appartiene a una retta o sezione conica. Per farlo, bisogna conoscere le coordinate del punto e l’equazione della retta, o della conica. Se sostituendo le coordinate del punto nell’equazione, e svolgendo i calcoli, l’equazione si riduce a un’identità, allora il punto apparterrà alla retta o conica. Ma vale anche il viceversa: se il punto appartiene alla retta o conica, sostituendo le coordinate del punto nell’equazione, e svolgendo i calcoli, l’equazione si ridurrà a un’identità.

Geometria analitica: la retta nel piano cartesiano e la sua equazione

La retta è una linea dritta e infinita sul piano cartesiano. Nel piano cartesiano possiamo rappresentarne solo una parte, essendo impossibile disegnare infiniti punti.

Ci sono infinite rette sul piano, e si distinguono l’una dall’altra per la pendenza e l’intercetta.

L’intercetta è la coordinata \(y\) del punto in cui la retta interseca l’asse delle ordinate.

La pendenza, detta anche coefficiente angolare, ci indica quanto la retta sia ripida, ovvero di quanto sia inclinata rispetto all’asse delle ascisse. Il modo più immediato per esprimere la pendenza è mediante l’angolo compreso tra l’asse delle ascisse e la retta stessa. Non a caso, si chiama angolo di inclinazione! Più l’angolo è ampio, più la retta è inclinata.

Figura 4. Due rette con inclinazione diversa.

Ma c’è anche un altro modo. Per scriverlo, occorre definire incremento di \(x\) e di |(y\). Scelti due punti qualsiasi appartenenti alla retta, di coordinate \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \(\Delta x=|x_2-x_1|\) è l’incremento di \(x\). Questa quantità ci indica di quanto ci siamo spostati sull’asse delle ascisse. Allo stesso modo, \(\Delta y=|y_2-y_1|\).

Se chiamiamo m il coefficiente angolare, si ha che \[m=\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Il denominatore, \(\Delta x\), non può essere pari a 0, quindi deve essere \(|x_2-x_1| \neq 0\), cioè \(x_1 \neq x_2\), e di conseguenza la retta non può essere verticale.

Grafico di una retta, fasci di rette

Per poter individuare una retta e rappresentarla nel piano con un grafico servono due informazioni

• due punti, oppure

• un punto e un coefficiente angolare

Se abbiamo un solo punto, da esso passano infinite rette, e si ha un cosiddetto fascio di rette per un punto.

Se stabiliamo una pendenza, possiamo individuare di nuovo infinite rette, stavolta tutte parallele tra loro. Si chiama fascio di rette parallele.

Equazione della retta

Dato un coefficiente angolare \(m\) e l’intercetta \(q\), l’equazione della retta si scrive, in forma esplicita,

\[y=mx+q\]

Ci sono anche altri modi di scrivere questa stessa equazione, per esempio in forma implicita, che approfondiremo in un altro articolo più specifico. Su StudySmarter troverai uno studio dettagliato sulle rette, e ti aiuteremo a capirla mediante esempi, esercizi e grafici.

Geometria analitica: circonferenza nel piano cartesiano e la sua equazione

In termini grezzi, la circonferenza è la linea che disegniamo per delimitare un cerchio. Per disegnarne una basta avere un punto, il centro, e stabilire una lunghezza chiamata raggio, che ne determina la ‘grandezza’. Più è corto il raggio, più piccola sarà la circonferenza.

Per facilità, pensa a un compasso aperto alla lunghezza fissata del raggio e che resta fermo sul centro. Se provi a muovere l’altra estremità con la matita in tutte le direzioni possibili senza aprire o chiudere il compasso, vedrai che puoi solo ruotarlo. Se lo ruoti in modo continuo fino a raggiungere il punto di partenza, l’altra estremità disegnerà una linea chiusa che sarà proprio la circonferenza.

Figura 6. Circonferenza con raggio fissato

Equazione della circonferenza nel piano cartesiano

Utilizzando la formula per la distanza tra due punti, si ottiene l’equazione:

\[(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2\]

Espandendo questa equazione con proprietà algebriche, si ottiene la stessa equazione in un’altra forma, detta canonica.

Su StudySmarter potrai approfondire le relazioni tra queste equazioni, e studiare diversi esercizi sulla circonferenza.

Geometria analitica: la parabola e la sua equazione nel piano cartesiano

A differenza della circonferenza, la parabola non è una figura chiusa. Si dice che le due estremità tendono all’infinito, e quindi, come la retta, non può essere rappresentata mai per intero nel piano cartesiano.

Ogni parabola ha un’asse di simmetria, che è la retta che la divide in due parti identiche. Il punto d'intersezione tra l’asse di simmetria e la parabola, si chiama vertice.

Se l’asse di simmetria è verticale, l'equazione in forma esplicita della parabola sarà\[y=ax^2+bx+ c\]

a, b e c sono coefficienti, quindi possiamo scegliere infinite terne (a,b, c) e sostituirle nell’equazione, ottenendo infinite parabole diverse.

Se fosse

1. a pari a 0, avremmo una retta, non una parabola.

2. Se \(a>0\) si dice che la parabola ha concavità rivolta verso l’alto, cioè le sue estremità tendono a \( +\infty\).

3. Viceversa, se \(a<0\) si dice che la parabola ha concavità rivolta verso il basso, cioè le sue estremità tendono a \( -\infty\).

La parabola è utile per fisici e ingegneri, ed è molto presente nella realtà. Per fare un paio di esempi, sono parabole le antenne paraboliche o i fari automobilistici.

Geometria analitica: formule

Un formulario è sempre utile per un ripasso, o per avere un riferimento. Ecco qui le formule principali di geometria analitica, suddivise per argomento. Negli articoli specifici troverai spiegazioni, grafici, casi particolari e altre formule ancora. Questa è solo una sintesi introduttiva.

Formulario punti e segmenti

Tabella 1. Formulario punti e segmenti.

Formulario retta

Tabella 2. Formulario retta.

Formulario circonferenza

Tabella 3. Formulario circonferenza.

Formulario ellisse

Tabella 5. Formulario ellisse.

Formulario iperbole

Tabella 6. Formulario iperbole.

Geometria analitica: esercizi

Gli esercizi principali che dovrai saper risolvere sono:

• trovare il punto medio di un segmento;

• trovare la distanza tra due punti;

• scrivere l’equazione di una retta passante per due punti;

• scrivere l’equazione di una retta passante per un punto e parallela o perpendicolare a una retta data;

• trovare l’asse di un segmento;

• trovare l’equazione di una circonferenza dati il suo centro e il raggio;

• trovare le coordinate del centro di una circonferenza e il suo raggio data la sua equazione;

• trovare l’equazione della retta tangente a una circonferenza data in un punto;

• trovare l’equazione di una ellisse dati asse minore e maggiore;

• trovare l’equazione di una iperbole dati asintoti o assi e viceversa;

• trovare il fuoco e il vertice, data l’equazione di una parabola e viceversa.

Le formule che abbiamo elencato sopra saranno utili per gli esercizi. Non possiamo affrontarli tutti in questo articolo, ma troverai tanti esempi su StudySmarter.

Quando devi affrontare un esercizio, raccomandiamo di leggere attentamente il testo, di raccogliere tutte le informazioni utili, e tutte le volte che puoi, di fare un disegno quanto più accurato del problema. Molto spesso i problemi vengono presentati in maniera contorta, quindi il primo passo è sempre capire i dati e la domanda. Più esercizi svolgi, più la mente si allena a pensare in maniera critica e flessibile. Su StudySmarter, grazie a tanti esempi, ti aiuteremo ad acquisire questa capacità.

• La geometria analitica traduce i concetti geometrici in un sistema di coordinate cartesiane bidimensionale.

• Il piano cartesiano è diviso in quattro quadranti da due assi perpendicolari, l’asse delle \(x\) e l’asse delle \(y\), che si incontrano in un punto chiamato origine.

• Tutti i punti del piano sono individuate da una coppia ordinata di coordinate \((x,y)\).

• Un luogo geometrico è un insieme di punti che godono di una stessa proprietà.

• I luoghi geometrici principali sul piano sono la retta, e le sezioni coniche: ellisse, circonferenza, parabola e iperbole.

• La retta è un insieme di infiniti punti allineati nel piano.

• Ci sono infinite rette sul piano, che sono distinte l’una dall’altra grazie a una pendenza, detta coefficiente angolare, e un’intercetta (la coordinata \(y\) del punto d'intersezione tra l’asse \(y\) e la retta)

• La circonferenza è il luogo geometrico dei punti sul piano aventi la stessa distanza fissata (il raggio) da un punto (il centro).

• La parabola è il luogo geometrico di tutti i punti aventi la stessa distanza da un punto F, detto fuoco e una retta d, detta direttrice.

• Ci sono infinite rette sul piano cartesiano, ognuna avente un'equazione distinta. Lo stesso vale per le sezioni coniche.

• Se un punto appartiene a una retta o conica, sostituendo le coordinate del punto nell’equazione, e svolgendo i calcoli, l’equazione si ridurrà a un’identità. Vale anche il viceversa.

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  References

  1. Fig. 5 - Le possibili intersezioni tra un cono tridimensionale e un piano: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole. (https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Conic_sections_2-noeng.png by Magister_Mathematicae (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Magister_Mathematicae) is licensed by Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)
  2. Fig. 6 - Circonferenza con raggio fissato (https://pixabay.com/photos/pair-of-compasses-compasses-compass-6563844/) by tiago_hands (https://pixabay.com/users/tiago_hands-13874809/) is licensed by Pixabay License (https://pixabay.com/service/license/)