Geometria

Geometria euclidea

Una figura molto importante nella storia della geometria è il matematico greco Euclide, vissuto tra il IV e il III secolo a.C. Euclide scrisse gli Elementi, il testo più famoso della storia della matematica: la novità è nell'organizzazione logica del testo. Euclide parte da cinque nozioni comuni e cinque postulati: da queste dieci "verità" fa derivare tutte le conoscenze dell'epoca, organizzandole in tredici libri.

Tra i vari postulati è più famoso il quinto, che sembrava troppo complicato rispetto agli altri. Nel corso dei secoli vari matematici (Saccheri, Bolyai, Lobačevskij e altri) cercarono di capire se c'era modo di far derivare questo postulato dagli altri: il risultato fu che scoprirono altri tipi di geometria in cui il quinto postulato non vale! Si parla di geometrie non euclidee per distinguerle da quella di Euclide.

Anche le geometrie non euclidee hanno applicazioni concrete: la superficie sferica, ad esempio, è un modello di geometria non euclidea. La superficie terrestre ha più o meno questa forma: angoli e distanze sulla sfera, e quindi sulla Terra, si comportano in modo diverso da quello che accade sul piano!

Si potrebbe dire che la differenza è nella curvatura: la geometria euclidea resta valida negli spazi "piatti", come il piano. Dove c'è una curvatura, come sulla sfera, le cose funzionano diversamente. La geometria moderna resta comunque molto legata a quella euclidea: come Euclide, si cerca di definire tutti gli oggetti a partire da punto, retta, e piano.

Punto, retta, piano

Punto, retta e piano sono i tre enti primitivi della geometria euclidea: nella geometria moderna non vengono definiti, ma si accettano come concetti noti a tutti. Il punto non ha dimensione e si indica con lettere maiuscole dell'alfabeto latino come \(P\), \(Q\), \(R\). La retta ha una sola dimensione e si indica con lettere minuscole dell'alfabeto latino come \(r\), \(s\), \(t\). Il piano invece è un ente a due dimensioni e si indica con le lettere minuscole dell'alfabeto greco come \(\alpha\) , \(\beta\) , \( \gamma\) .

Qualunque figura geometrica si può definire come un insieme di punti: questo vale anche per rette e piani. La relazione che governa la gerarchia tra insiemi è quella di appartenenza, che si indica con il simbolo \(\in\). Si può dire che un punto \(P\) appartiene alla retta \(r\), o che \(P\) sta sulla retta \(r\), o che la retta \(r\) passa per il punto \(P\), scrivendo \(P \in r\); se il punto non appartiene alla retta si indica \(P \not\in r\). Allo stesso modo, con il simbolo \(r \in \alpha\) si dice che una retta \(r\) appartiene a un piano (o che sta sul piano) \(\alpha\), oppure che il piano \(\alpha \) passa per la retta \(r\).

Per individuare una retta servono almeno due punti. Tre punti si dicono allineati se appartengono alla stessa retta. Per individuare un piano servono tre punti, oppure una retta e un punto che non le appartiene. Quando due rette, due piani oppure un piano e una retta hanno almeno un punto in comune si dice che si intersecano.

A partire da punti, rette e piani si possono definire angoli e figure geometriche, sia piane che solide. Ci sono infinite possibilità di costruzioni per le figure geometriche: in geometria piana si studiano il cerchio e i poligoni, come triangoli o quadrilateri. Nella geometria solida si possono costruire piramidi, prismi, poliedri, coni, cilindri, sfera, e molte altre figure ancora: praticamente ogni oggetto del mondo reale ha un modello nella geometria solida!

Area

La geometria dell'antico Egitto nasce per misurare e dividere le aree dei terreni fertili. Per confrontare due terreni, non serve misurare lo spazio tridimensionale che occupano, ma si confronta lo spazio piano occupato dai due. La misura dell'estensione della superficie piana di un oggetto si chiama area.

Nella scuola primaria e secondaria si fa spesso l'esperienza di suddividere una figura in piccoli quadratini per avere un'idea intuitiva di che cos'è l'area e fare confronti tra figure diverse. Altri contenuti che si imparano in queste scuole, ma è bene ricordare sempre, sono questi:

• Non confondere area e perimetro dei poligoni: sono grandezze diverse! Il perimetro nei poligoni è la somma delle lunghezze dei lati: è quindi una misura lineare, di lunghezza, non di superficie come l'area.
• Quando si usano unità di misura, l'area è sempre espressa in unità al quadrato: m², cm², etc. Anche questo ti aiuta a distinguerla dalle misure lineari.
• L'area di due figure congruenti (identiche) è sempre la stessa, ma anche due figure non congruenti (non identiche) possono avere la stessa area.

Ogni figura geometrica ha una formula specifica che permette di calcolarne l'area. L'area più semplice da calcolare è quella del quadrato: ragionando in maniera più generale a partire da questa, si trovano le formule per figure più complesse. Qui su StudySmarter troverai le formule per l'area, così come quelle delle altre grandezze, nelle sezioni specifiche sui triangoli, quadrilateri e cerchi.

Ricorda che l'area non è un'esclusiva delle figure piane: ogni figura solida è circondata da una superficie piana che ha anch'essa un'area!

Volume

Nella vita pratica gli oggetti sono tridimensionali: non occupano solo una superficie piana, ma lo spazio tridimensionale. Il volume di un solido misura precisamente lo spazio tridimensionale occupato da un oggetto.

Così come per l'area, anche il volume a scuola viene introdotto immaginando di tagliare un oggetto in piccoli cubetti: nella pratica matematica però è molto più comodo sfruttare le formule per calcolare i volumi degli oggetti. Anche con le formule dei volumi il caso più semplice è quello del cubo, da cui poi si trovano le formule riguardanti altri solidi via via più complessi.

Conoscere i volumi è fondamentale anche nelle scienze applicate: c'è un legame molto stretto tra volume e massa di un oggetto fatto di un materiale noto! Il volume consente di calcolare pesi e stimare le capacità dei contenitori.

Ricorda di non confondere il volume con l'area: l'area misura la superficie piana, mentre il volume misura lo spazio tridimensionale. Le unità di misura del volume sono sempre elevate alla terza potenza: se leggi m³ o cm³ sai con certezza che ci si riferisce al volume, e non all'area o alla misura di un lato!

Simmetria

Un'altra parte importante della geometria è lo studio delle trasformazioni che si possono fare su una figura senza cambiarla. Quando un oggetto può essere ruotato o modificato senza cambiarne la forma, si dice che è simmetrico: da qui viene la definizione matematica di simmetria.

Ci sono vari tipi di simmetrie: i due tipi più semplici sono le simmetrie di riflessione e rotazione.

Nella simmetria di riflessione, l'oggetto risulta riflesso attorno a una retta che si chiama asse di simmetria. Questo è il tipo di simmetria che si studia alla scuola primaria: non vuol dire che sia banale! Il termine "riflessione" in questo caso indica precisamente quello che succede "specchiando" le figure: se appoggi uno specchio lungo uno degli assi, l'immagine che resta visibile viene riflessa nello specchio andando a formare l'immagine completa. Una figura può avere qualunque numero di assi di simmetria: da zero, nel caso di una figura non simmetrica, a infiniti, nel caso del cerchio.

Figura 4. Assi di simmetria di varie figure. Fonte: Wikimedia Commons.

Nel caso delle simmetrie di rotazione, l'oggetto viene ruotato attorno a un punto, detto centro di rotazione, senza cambiare la sua forma. Quadrato, triangolo equilatero o altri poligoni regolari hanno questo tipo di simmetria, ma è più interessante vederla in altre figure più insolite, come ad esempio negli anelli borromei:

Figura 5. Anelli borromei. Fonte: Wikimedia Commons.Questa figura non può essere "specchiata" perché le sovrapposizioni dei cerchi non vengono riflesse correttamente. Ruotando la figura di 60° invece si ha una sovrapposizione perfetta.

Un tipo di simmetria non esclude l'altro: molte figure hanno simmetrie sia di rotazione che di riflessione. Ad esempio, un quadrato ha gli assi di simmetria evidenziati in figura 4, ma se viene ruotato di 90° si sovrappone perfettamente a sé stesso! Entrambi i tipi di simmetria esistono anche nello spazio tridimensionale. Sono un po' più complicate, ma i concetti sono molto simili.

Le simmetrie sono importanti perché consentono di passare agilmente dalla parte all'intero. L'idea è che un oggetto simmetrico è fatto di più parti uguali tra di loro, e quindi basta studiare una singola parte. Nei problemi di geometria vedrai spesso che le simmetrie aiutano a calcolare angoli o lunghezze.

Problemi di geometria

Uno dei motivi per cui si studia la geometria a scuola è quello di imparare a risolvere problemi. Un problema di geometria ha dei dati, cioè delle grandezze che sono note e ti chiede di trovare delle incognite, cioè delle grandezze sconosciute. Oppure ti vengono date delle ipotesi, ovvero proprietà di una figura da considerare, e ti viene chiesto di dimostrare una tesi.

In questi casi non devi semplicemente dare una risposta, ma costruire una dimostrazione: un ragionamento logico fatto di vari passaggi, che parte dalle nozioni di base e, attraverso una serie di deduzioni, arriva a provare che un certo risultato è vero. Questo è anche il procedimento che si segue per dimostrare un teorema: un enunciato matematico di cui si ha una dimostrazione.

I problemi di geometria sono esercizi molto utili per imparare a ragionare in modo oggettivo: analizzare dati, costruire un ragionamento, arrivare a una conclusione. Per risolvere un problema non c'è un procedimento standard: devi essere tu a impostare il ragionamento. Non è facile, ma con un po' di esercizio si può imparare!