Studio di funzione

Trova il dominio della funzione: \[f(x)= \frac{1}{\tan x }.\]

Soluzione.

Questa funzione ha due problemi di definizione:

1. contiene una tangente, che non è definita su tutti i reali;
2. c'è un denominatore che deve essere non nullo.

Bisogna impostare due condizioni di esistenza:

1. la C.E. della tangente: non esiste dove il coseno è nullo, cioè per \(x = \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \dots\) Espresso in una formula più concisa, \( x \neq \frac{2k+1}{2}\pi, k \in \mathbb{Z}\).
2. la C.E. della frazione: si deve avere \(\tan x \neq 0\). Quindi si devono escludere tutti i punti dove il seno è nullo, ovvero \(x=0, \pi, -\pi, 2\pi, \dots\) Riassumendo in una sola formula: \( x \neq k \pi, k \in \mathbb{Z}\).

Queste due condizioni devono essere entrambe vere: la funzione è definita per \(x=k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \).

Studia le simmetrie della funzione: \[g(x)=\frac{x^3-2x}{4}.\]

Soluzione.

Il dominio è \(\mathbb{R}\). Sostituisci \(-x\) al posto di \(x\) per vedere se ci sono simmetrie: \[g(-x)=\frac{(-x)^3-2(-x)}{4} = \frac{ -x^3+2x}{4} = - \frac{x^3-2x}{4} = -g(x)\] Risulta \(g(x)\) cambiata di segno: questo significa che la funzione è dispari, e ha un grafico simmetrico rispetto all'origine. Se ruoti di 180° lo schermo con cui stai leggendo questo articolo, il grafico resta identico.

Figura 1. \(g(x)\) è dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.

Studia le simmetrie e il periodo della funzione \(f(x) = \sin 2x + \cos x\).

Soluzione.

\(\sin 2x\) è una funzione dispari, mentre \(\cos x\) è pari: la somma delle due non è né pari né dispari. Puoi verificare sostituendo \(-x\) al posto di \(x\) nella legge della funzione: \[ f(-x) = \sin (-2x) + \cos (-x) = -\sin 2x + \cos x \] e come vedi non risulta né pari, né dispari.

La funzione \(\sin 2x\) è periodica di periodo \(\pi\); \(\cos x\) invece ha periodo \(2\pi\). Il risultato della somma, quindi, è periodico con il periodo maggiore tra i due: in questo caso è \(2 \pi\). Puoi limitarti a studiare la funzione nell'intervallo \([0, 2\pi]\).

Studia il segno e le intersezioni con gli assi della funzione \(f(x)= x^2-7x-8\).

Soluzione.

Devi studiare \(f(x) > 0\): è una disequazione di secondo grado, quindi devi risolvere l'equazione associata \(x^2-7x-8 =0\). Se scomponi come prodotto notevole, ottieni \[x^2-7x-8 =(x+1)(x-8)\] che dà le due soluzioni \[x_1=-1, \; x_2 =8. \] Queste sono i due zeri della funzione: \(f(-1)=f(8)=0\). A questo punto puoi risolvere la disequazione associata, considerando che \(y=x^2-7x-8\) è una parabola con i bracci rivolti verso l'alto: quindi \[f(x) > 0\text{ per } x<-1\text{ o } x >8\] Se ti serve un ripasso, leggi l'articolo sulle disequazioni di secondo grado!

A questo punto si possono esplicitare le intersezioni con gli assi.

Per l'asse \(x\) bisogna risolvere: \[\begin{cases} y=0 \\ y=x^2-7x-8 \end{cases} \] che porta a \[x^2-7x-8 =0\] ovvero all'equazione appena risolta. Le soluzioni \(-1, 8\) sono le \(x\) dei punti di intersezione: le \(y\) corrispondenti sono entrambe \(0\). Quindi le intersezioni sono nei punti \(A=(-1,0), B=(8,0)\).

Per l'asse \(y\) bisogna risolvere \[\begin{cases} x=0 \\y=x^2-7x-8 \end{cases}\] e basta semplicemente sostituire \(x=0\) nella funzione. Si ottiene \(y =0^2-7\cdot 0 -8 =-8\): il punto di intersezione con l'asse \(y\) quindi è \(C=(0,-8)\).

Conviene riportare queste informazioni sul grafico: segna i tre punti e cancella le parti di piano in cui il grafico della funzione non passa. In altre parole: dove \(f(x)>0\), tratteggia la parte di piano sotto l'asse \(x\), mentre dove \(f(x)<0\) tratteggia la parte di piano sopra l'asse, come vedi nel disegno.

Figura 4. Intersezioni con gli assi e segno della funzione \(f(x)\).

Studia l'andamento agli estremi del dominio di \(f(x)= x^2+2\).

Soluzione.

In questo caso la funzione è un polinomio, quindi il dominio è \(\mathbb{R}\). I limiti da calcolare sono solo due: quelli per \(x \to + \infty\) e \(x \to - \infty\). Dato che è una funzione continua \[\lim_{x \to -infty} x^2+2 =+\infty, \quad \lim_{x \to +\infty} x^2+2 =+\infty\]

Studia l'andamento agli estremi del dominio di \(h(x)=\dfrac{2}{x-2}\).

Soluzione.

Il dominio di questa funzione è \(\mathbb{R} \setminus \{2\} = (-\infty, 2) \cup (2, + \infty)\).

Con la seconda notazione noti meglio che ci sono quattro confini: uno per ogni parentesi. Questo significa che dovrai calcolare quattro limiti!

Il primo è \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{-\infty}=0 .\] Poi hai un secondo confine a sinistra di due e uno a destra: se sostituisci \(2\) in

\[ \lim_{x \to 2} \frac{2}{x-2} \] noti che il denominatore tende a \(0\), quindi la funzione tenderà a infinito. Più o meno? Se ti avvicini a \(2\) da sinistra, \(x\) è più piccolo di \(2\), e quindi il denominatore è positivo: a sinistra, la funzione va a \(- \infty\). \[ \lim_{x \to 2^-} \frac{2}{x-2} = - \infty\]

Se invece arrivi a \(2\) da destra, la \(x\) al denominatore sarà più grande di \(2\) e il risultato della sottrazione sarà positivo: la funzione va a \(+ \infty\).

\[ \lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x-2} = + \infty\]

L'ultimo limite è verso \(+ \infty\): qui la funzione va a \(0\). \[\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{x-2} = \frac{2}{+\infty}=0 \]

Studia la derivata di \(g(x) = \dfrac{x^3-2x}{4}\).

Soluzione.

Questa funzione è un polinomio (al denominatore non ci sono \(x\)!). Conviene riscriverla in modo da esplicitare i coefficienti: \[g(x) = \frac{x^3-2x}{4} = \frac{3}{4}x^3-\frac{1}{2}x\]

Calcola la derivata.\[g'(x) = \frac{3}{4}\cdot 3x^2 - \frac{1}{2} = \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2}\]

Ora puoi studiare dove \(g'(x) > 0\): è una disequazione di secondo grado, quindi risolvi l'equazione associata.

\begin{align} \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2} = 0 \\ x^2 = \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{9} \\ x_{1,2} = \pm \frac{\sqrt{2}}{3} \end{align} Dato che il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, la disequazione è verificata negli intervalli esterni alle soluzioni. \[ g'(x) > 0 \text{ per } x \in \left( - \infty, -\frac{\sqrt{2}}{3} \right) \cup \left( \frac{\sqrt{2}}{3} , + \infty\right)\] quindi in queste semirette la funzione è crescente. Quindi la funzione è decrescente per \[g'(x) < 0 \text{ per } x \in \left( -\frac{\sqrt{2}}{3}, + \frac{\sqrt{2}}{3} \right). \]

Studia la derivata seconda della funzione \(g(x) = \dfrac{x^3-2x}{4}\).

Soluzione.

Dall'esempio precedente hai già la derivata prima. \[g'(x) = \frac{9}{4}x^2 - \frac{1}{2}\] La derivata seconda quindi è \[g''(x) = \frac{9}{4}\cdot 2 x = \frac{9}{2}x.\] Lo studio del segno in questo caso è molto semplice: \(g''(x) > 0 \) per \(x > 0\). Quindi la funzione è

• convessa per \(x > 0\);
• concava per \(x < 0\).

Restano da classificare i punti stazionari visti all'esempio precedente:

\[ g''\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} =- \frac{3\sqrt{2}}{2} < 0\]

quindi \(-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) è un punto di massimo relativo.

\[ g''\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} =- \frac{3\sqrt{2}}{2} < 0\]

quindi \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\) è un punto di minimo relativo.

Studia dominio, segno e derivata prima della funzione \[f(x) = \frac{e^{-x}}{\ln x} .\]

Soluzione.

Comincia dal dominio. La funzione è definita se:

• il denominatore è diverso da zero: \( \ln x \neq 0 \), quindi \(x \neq 1\).
• è definito il logaritmo, cioè se \( x > 0\).

Mettendo assieme le condizioni, il dominio è dato dai numeri positivi, eccetto \(1\). \[ D_f = (0, 1) \cup (1, + \infty)\]

Dato che il dominio è asimmetrico, non ha senso cercare simmetrie: la funzione non è né pari né dispari.

Ora studia il segno: dato che \(f\) è fratta, dovrai studiare separatamente numeratore e denominatore.

Il numeratore essendo un'esponenziale, è sempre positivo. \(e^{-x} > 0 \forall x \in D_f\)

Il denominatore invece è un logaritmo: \(\ln x > 0 \) per \(x > 1\).

Fai uno schema per indicare il segno del numeratore e denominatore, e moltiplicali per ottenere il segno della funzione.

Figura 5. Segno della funzione.

Dallo schema risulta che

\[f(x) > 0 \text{ per } x > 1, f(x) < 0 \text{ per } x < 1.\]

Figura 6. La funzione considerata è negativa in \((0,1)\) e positiva in \((1, +\infty)\).

Non c'è intersezione con l'asse \(y\), perché la funzione non è definita in \(x=0\). Un'intersezione con l'asse \(x\) si ha se la funzione risulta nulla: cioè se \[ \frac{e^{-x}}{\ln x} =0,\]che si ha solo se \[ e^{-x} = 0 \text { e } \ln x \neq 0\] Ma l'esponenziale non si annulla mai: quindi non c'è nemmeno intersezione con l'asse \(x\).

A questo punto bisogna studiare il comportameno agli estremi del dominio. Il primo estremo del dominio è \( 0\): dovrai calcolare un limite destro perché la funzione non esiste a sinistra.

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{-x}}{\ln x} \rightarrow \frac{1}{-\infty} =0 \]

Il secondo estremo è \(1\).

\[ \lim_{ x \to 1} \frac{e^{-x}}{\ln x} \] Se sostituisci \(1\) in quest'espressione hai un numero, \(e^{-1}\), diviso \(0\): quindi il limite è infinito. Per capire se è \(+ \infty\) o \(- \infty\) puoi guardare il segno della funzione: dato che a destra e a sinistra i segni sono diversi, avrai un limite destro diverso da quello sinistro. Per \(x < 1\) la funzione è negativa, quindi \[ \lim_{ x \to 1^-} \frac{e^{-x}}{\ln x} = - \infty\] mentre per \(x > 1\) è positiva, e quindi \[ \lim_{ x \to 1^+} \frac{e^{-x}}{\ln x} = +\infty . \] Questo ti dice che \(x=1\) è un asintoto verticale. L'ultimo limite è quello per \(x \to \infty\): \[ \lim_{ x \to + \infty} \frac{e^{-x}}{\ln x} = \frac{0}{ + \infty} = 0\] È risultato un valore finito: quindi la retta \(y=0\) è un asintoto orizzontale della funzione.

Puoi fare dei piccoli segni sul grafico per ricordarti i risultati dei limiti.

Figura 7. Su ogni estremo del dominio puoi aggiungere il corrispondente limite della funzione alla bozza di grafico.

A questo punto per completare il grafico puoi studiare la derivata, calcolandola con la formula per i quozienti.

\[f'(x) = \frac{-e^{-x}\ln x - e^{-x}\cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{-e^{-x}\left(\ln x + \frac{1}{x}\right)}{\ln^2 x} \]

Per capire dove la funzione è crescente devi studiare \(f'(x) > 0\). Nella legge della funzione, \(-e^{-x}\) è sempre negativo, \(\ln^2 x\) sempre positivo: quindi la derivata risulta positiva se il termine tra parentesi è negativo (in questo modo i due segni - si cancellano).

\[f'(x) > 0 \text{ se e solo se } \ln x +\frac{1}{x} < 0. \]

Questa disequazione richiede qualche passaggio. \begin{align} \ln x +\frac{1}{x} < 0 \\ \frac{1}{x} < - \ln x \\ \frac{1}{x} < \ln x^{-1} \\ \frac{1}{x} < \ln \frac{1}{x} \end{align} Con un cambio di variabile, è come studiare se \(t < \ln t\): questa disequazione è sempre falsa! Per una spiegazione più precisa, controlla l'articolo sulle equazioni logaritmiche.

Quindi, dato che la derivata è

\[f'(x) = - \frac{e^{-x}\left(\ln x + \frac{1}{x}\right)}{\ln^2 x} \] e tutti i termini presenti nella frazione sono positivi, ne risulta che il segno è costante: \(f'(x) < 0\) su tutto il dominio, e quindi \(f(x)\) è sempre decrescente. Non ci sono massimi né minimi, nemmeno relativi, perché la derivata non si annulla mai.

A questo punto puoi fermarti. Tecnicamente è possibile calcolare la derivata seconda, ma il calcolo diventa piuttosto difficile. Disegna un grafico approssimativo collegando tra loro i trattini fatti per indicare i valori dei limiti: anche se non sai in modo preciso cosa fa la funzione, puoi indovinarne l'andamento. Nel disegno qui sotto vedi un grafico probabile: una qualunque delle linee tratteggiate è una buona alternativa.

Figura 8. Grafico probabile della funzione. Una qualsiasi delle linee tratteggiate è un'alternativa sufficientemente buona.t

Studia la funzione \(f(x) = x \sqrt{1-x^2}\).

Soluzione.

La funzione è definita per \(1-x^2 \geq 0\): questa disequazione è verificata per \(x \in [-1, 1]\). Questo intervallo, quindi, è il campo di esistenza della funzione: puoi eliminare tutto quello che si trova fuori.

Figura 9. Dominio della funzione \(x\sqrt{1-x^2}\).

Calcola \(f(-x)\) per verificare se ci sono simmetrie: \[ f(-x) = - x \sqrt{1-(-x)^2} = -x \sqrt{1-x^2} = -f(x)\] Si tratta di una funzione dispari: è sufficiente studiarla sulla parte positiva dell'intervallo. Certamente non è periodica.

Dato che il risultato della radice è sempre positivo, il segno di \(f(x)\) dipende interamente da \(x\). Si ha \(f(x) \geq 0\) per \(x > 0\) e \(f(x) \leq 0\) per \(x < 0\).

Figura 10. Schema per calcolare il segno della funzione \(x\sqrt{1-x^2}\).

Vediamo le intersezioni con gli assi, cominciando dall'asse \(x\). \[x \sqrt{1-x^2} =0\] si ha

1. se \(x=0\), oppure
2. se \(\sqrt{1-x^2}=0\), cioè se \(1-x^2=0\) ossia \(x^2=1\), quindi nei punti \(x_1=1\) e \(x_2 = -1\).

La risposta 1 ci dice che la funzione passa per \((0,0)\): l'origine è un punto di intersezione sia con l'asse \(x\) che con l'asse \(y\). La risposta 2 dà altre due intersezioni con l'asse \(x\) nei punti \((1,0)\) e \((-1,0)\). Riporta queste affermazioni sul grafico: segna gli zeri e cancella la parte che si trova sopra l'asse nell'intervallo \([-1,0]\) e quella sotto l'asse in \([0,1]\) come vedi in figura 11.

Figura 11. Sono evidenziati gli zeri della funzione e le aree del piano in cui passa il grafico.

Questo risponde implicitamente anche al comportamento agli estremi del dominio: dato che la funzione è continua, i limiti per \(x \to -1^- \) e \(x \to 1^+\) corrispondono ai valori della funzione in questi punti.

A questo punto restano da calcolare le derivate. Per calcolare la derivata prima ricorda le regole di derivazione del prodotto e della funzione composta.

\begin{align} \left( x\sqrt{1-x^2} \right)' & = (x)'\sqrt{1-x^2} + x\left( \sqrt{1-x^2} \right)' \\&= \sqrt{1-x^2}+x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \\&= \sqrt{1-x^2}- \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\& = \frac{ (\sqrt{1-x^2})^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\& = \frac{ 1-x^2-x^2}{\sqrt{1-x^2}} \\ & = \frac{ 1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\end{align}

Il denominatore di questa derivata è sempre positivo: quindi il segno della derivata dipende esclusivamente dal numeratore. La derivata è positiva se \[1-2x^2>0 \Rightarrow -\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}} .\] In questo intervallo, quindi, la funzione è crescente, mentre negli intervalli \( \left(-1, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\) e \( \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1 \right)\) la derivata è negativa e quindi la funzione è decrescente. I due valori \(x_{1,2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) sono punti stazionari: la derivata qui si annulla. Rappresenta questi dati su un diagramma, indicando con una freccia verso l'alto la crescenza e con una freccia verso il basso la decrescenza.

Figura 12. Segno della derivata \(f'(x)\). Le frecce verso il basso indicano dove \(f(x)\) è decrescente, verso l'alto dove è crescente.

Questo permette di capire già che \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) è un punto di massimo: a sinistra la funzione è crescente e a destra decresce. In modo simile puoi dedurre che \(-\frac{1}{\sqrt{2}}\) è un punto di minimo. Calcolane i valori per indicare i punti sul grafico.

\begin{align}f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{1}{2}} \\ & = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \end{align} Questo valore è un massimo assoluto: la funzione non cresce ulteriormente, quindi non raggiunge mai valori maggiori. Allo stesso modo, il valore nel punto di minimo è un minimo assoluto. Dato che la funzione è dispari, \[ f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=- f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)= -\frac{1}{2}.\] Per tracciare un grafico probabile puoi sfruttare anche il fatto che la derivata non è definita in \(-1\) e \(1\): il denominatore tende a zero, e quindi il limite della derivata tenderà a infinito. Questo significa che la funzione tenderà ad avere una tangente verticale in questi punti.

Figura 13. Massimo, minimo, e zeri della funzione consentono già di tracciare un grafico probabile.

A questo punto puoi calcolare la derivata seconda per trovare convessità e flessi. Con una funzione irrazionale puoi aspettarti una derivata seconda piuttosto complicata: a seconda del programma che svolgi a scuola potresti doverla calcolare oppure no. Se non devi calcolare la derivata seconda, l'esercizio finisce qui: puoi provare a tracciare un grafico che passi tra i cinque punti individuati.

\begin{align}f''(x) &= \frac{(1-2x^2)'(\sqrt{1-x^2})-(1-2x^2)(\sqrt{1-x^2})'}{\sqrt{1-x^2}^2} \\&= \frac{-4x\sqrt{1-x^2}- \frac{(1-2x^2)(-2x)}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\&= \frac{\frac{-4x(\sqrt{1-x^2})^2+(1-2x^2)x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} \\&= \frac{-4x(1-x^2)+x-2x^3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} \\&= \frac{-4x+4x^3+x-2x^3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} \\&= \frac{2x^3-3x}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{x(2x^2-3)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\end{align}

Per calcolare \(f''(x)>0\) conviene studiare separatamente i fattori che la compongono. In altre parole, dovrai studiare \[x>0, \; 2x^2-3> 0, \; 1-x^2> 0, \; \sqrt{1-x^2} >0\] e mettere assieme i risultati per trovare il segno della derivata seconda. Puoi notare che i fattori a denominatore sono entrambi positivi su tutto il dominio della funzione: ti basta studiare i fattori del numeratore.

Comincia da \(x >0\): è già praticamente risolto, ma vale la pena notare che questo fattore annulla la derivata seconda in \(x=0\): \(f''(0) =0\), qui hai un punto di flesso.

Devi risolvere \(2x^2-3> 0\): una disequazione di secondo grado, per cui risolvi l'equazione associata.

\[ 2x^2-3 =0 \text{ per } x^2=\frac{3}{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}\] Quindi hai \[2x^2-3> 0\text{ per } x < -\sqrt{\frac{3}{2}} \text{ o } x > \sqrt{\frac{3}{2}} .\] Ma questo insieme di soluzioni è fuori dal dominio della funzione \(f(x)\) che stai studiando! Di conseguenza, si ha \[2x^2-3 < 0 \text{ su tutto il dominio di } f(x).\] Rappresenta tutto su uno schema: una riga per ogni fattore della derivata seconda e i segni corrispondenti. Moltiplica i segni per trovare il segno della derivata seconda nei vari intervalli. Dove \(f''\) è positiva, segna la "pancia" verso il basso per indicare che la funzione è convessa; dove \(f''\) è negativa, segna la "pancia" verso l'alto.

Figura 13. Calcolo del segno della derivata seconda.

Adesso hai tutti i dati necessari per disegnare il grafico probabile della funzione! Sicuramente la curva sarà simile a quelle sopra, ma conoscendo le concavità della funzione potrai disegnarne meglio la curvatura.

Figura 14. Grafico probabile della funzione \(f(x)\).