Funzioni composte

Definizione di funzione composta

L'idea alla base di una funzione composta è di calcolare due funzioni una dietro l'altra. Ovvero, se hai due funzioni \(f\) e \(g\), prendi un numero \(x\), calcoli la sua immagine \(y=g(x)\) e poi calcoli \(f(y)\). In altre parole, si calcola prima \(g(x)\) e poi sul risultato di questa si calcola \(f\).

Non è qualcosa di nuovo, e in realtà ne hai già viste parecchie. Considera ad esempio la funzione:

\[h(x) = \sqrt{x^2+x} .\]

È una funzione composta: in questo caso la funzione "interna", che viene calcolata per prima, è \(g(x) = x^2+x\), mentre la funzione esterna, calcolata sul risultato di questa, è \(f(y)=\sqrt{y}\). Nella composizione si sostituisce \( g(x)\) al posto di \( y\), e quindi si ha \( \sqrt{x^2+x}\).

Ovviamente non si può fare sempre: devi assicurarti che \(f\) si possa calcolare sul risultato di \(g(x)\). In altre parole, \(g\) deve associare a ogni elemento \(x\) del proprio dominio un elemento \(y\) del dominio di \(f\).

Forse è il caso di specificare, per evitare qualsiasi dubbio, che la composizione di funzioni non è una moltiplicazione:

\[(f \circ g) \neq f \cdot g.\]

Dominio di una funzione composta

Cerchiamo di studiare il dominio di \(h(x)=f(g(x))\). Se \(A\) è il dominio di \(g\) e \(B\) il suo codominio, allora \(g\) associa a \(x \in A\) un elemento \(y \in B\). Poi la funzione \(f\) associa a un elemento \(y\) di \(B\) (che deve essere il suo dominio) ad un elemento \(z\) di un terzo insieme \(C\) (il codominio di \(f\)). Quello che fa \(h(x)\) è prendere un elemento \(x\) da \(A\) e associargli \(z\in C\).

Ecco un diagramma che mostra la funzione composta \((f\circ g)(x)\) da un punto di vista insiemistico:

Fig. 2Funzione composta

La domanda a cui rispondere è questa:

Il dominio di \(h\) corrisponde a tutto il dominio di \(g\)? In altre parole: è corretto dire che \(Dom(h)=A\)?

Perché abbia senso la funzione composta, essa deve far corrispondere a tutte le \(x\) di \(A\) elementi di \(C\). Dall'immagine, però, puoi accorgerti che possono nascere dei problemi a livello di dominio.

1. Cosa succede se in \(B\) esistono anche degli elementi che non si possono calcolare come \(g(x)\)? Cioè: cosa succede se l'immagine di \(g\), \(Im(g)\), è un sottoinsieme proprio del dominio di \(f\) \(Dom(f)\)?

2. E se esistono degli elementi di \(B\) immagine di elementi di \(A\), cioè degli \(y=g(x)\), per cui la funzione \(f\) non è definita?

Le risposte a questi problemi richiedono di maneggiare attentamente il dominio e le immagini delle due funzioni \(f\) e \(g\).

1. Gli elementi di \(B\) che non si possono calcolare come \(g(x)\) non vengono coinvolti in nessun modo nel calcolo della funzione \(h\). Puoi immaginare che \(h\) "perde" alcuni elementi su cui si poteva calcolare \(f\).
2. Questo secondo problema è un po' più complicato: se non posso calcolare \(f\), non posso calcolare nemmeno \(h\). Quindi bisogna escludere dal dominio di \(g\) tutti gli elementi \(x\) per cui \(g(x)\) non appartiene al dominio di \(f\).

Non preoccuparti se ti ci vuole un po' per digerire la seguente definizione formale: la capirai meglio con qualche esercizio.

Esercizi sulle funzioni composte

Nella pratica, gli esercizi che dovrai affrontare, saranno principalmente:

1. scrivere una funzione composta, date due funzioni, o magari tre;
2. trovare il dominio di una funzione composta;
3. dato un valore preciso di \(x\), calcolare \(f(g(x))\) per quel valore.

Calcolo della composizione di due funzioni

Per scrivere una funzione composta, devi sempre iniziare dalla funzione interna, cioè quella più vicina alla variabile \(x\). Per esempio, in \(f(g(x))=(f \circ g)(x)\) devi prima calcolare \(y=g(x)\), e poi sostituire \(g(x)\) in \(f(y).\)

Determinare il dominio

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Quando devi studiare il dominio, hai due scelte. Puoi usare l'approccio insiemistico visto prima per fare il tuo ragionamento. Oppure puoi comporre prima le due funzioni e studiarne il dominio, come faresti con una funzione qualunque.

Avrai notato che l'approccio insiemistico, in generale, è un po' meno rapido. Nei prossimi esercizi lo lasceremo da parte.

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Valore in un punto

Per la terza tipologia di esercizi, in cui devi trovare un valore della funzione composta, hai di nuovo due strade. Puoi calcolare prima la funzione composta e poi sostituire il valore dato; oppure calcolare il valore della prima funzione, e poi quello della seconda sul risultato.

Composizione di funzioni: proprietà

Puoi considerare la composizione come un'operazione tra funzioni. Pensa all'addizione o alla moltiplicazione: sono operazioni che combinano due numeri e ne restituiscono un altro. Allo stesso modo, la composizione prende due funzioni e ne restituisce una terza.

La composizione di funzioni gode della proprietà associativa: se componi tre funzioni, non è importante come le raggruppi. \[(f \circ g)(h(x))=f \circ (g \circ h)(x).\]

In pratica, vuol dire che la posizione delle parentesi in una funzione composta non influisce sul risultato complessivo: non è importante se si calcola prima \(f \circ g\) e poi questo si calcola su \(h\), oppure se si calcola \(g \circ h\) e poi si inserisce il risultato in \(f\). La funzione risultante è la stessa!

La composizione di funzioni in genere non gode della proprietà commutativa: \((f \circ g) \neq (g \circ f)\). Quindi è importante calcolare la composizione rispettando l'ordine di scrittura!

Una funzione può essere composta con se stessa.

Un ultimo fatto importante da ricordare è che la composizione si comporta bene con l'iniettività e la suriettività:

• Date due funzioni iniettive, la loro composizione è iniettiva.

• Date due funzioni suriettive, la loro composizione è suriettiva.

• Date due funzioni biettive, la loro composizione è biettiva.

Fai attenzione, perché se una sola delle funzioni è iniettiva o suriettiva, la proprietà non viene mantenuta!

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