Funzione continua

Definizione di funzione continua

Nota che nella definizione si chiedono varie cose: la funzione deve essere definita sul punto $x_0$, che evita di cadere nel primo problema. Inoltre $x_0$ deve essere interno all'intervallo: questo assicura che sia un punto di accumulazione e che si possa calcolare il limite.

Per verificare se una funzione $f(x)$ è continua in un punto $x_0$ seguendo la definizione devi controllare tre passaggi:

1. Come prima cosa devi assicurarti che $f$ sia definita non solo nel punto $x_0$ ma in un piccolo intervallo intorno al punto.

2. Controlla che $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ esista e che non sia $\mathrm{\infty }$. In questo caso infatti non potrebbe essere uguale al valore della funzione.

3. Controlla che il valore $f(x_0)$ sia uguale al limite $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$.

Se uno solo di questi punti salta, puoi fermarti ed evitare di controllare gli altri: sicuramente la funzione non sarà continua in quel punto!

L'idea generale è che la maggioranza delle funzioni siano continue "quasi dappertutto", con l'eccezione di qualche punto qua e là.

Continuità di funzioni elementari

I limiti servono per definire le funzioni continue, ma anche le funzioni continue servono nei calcoli dei limiti! Sapendo che una funzione è continua, allora per calcolare il limite in ogni suo punto è sufficiente calcolare il valore della funzione in quel punto perché $$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

Questo è un enorme passo in avanti, a patto di dimostrare la continuità della funzione con cui devi lavorare. L'idea è di dimostrare la continuità di tutte le funzioni più comuni, quelle che vengono chiamate "funzioni elementari", e che la continuità sia mantenuta dalle operazioni con cui si creano nuove funzioni.

Grazie ai teoremi sui limiti, si può dimostrare che se due funzioni $f,g$ sono continue un un punto $x_0$, allora sono continue anche

• la loro somma $f+g$;

• la loro differenza $f-g$;

• il loro prodotto $f\cdot g$;

• il loro quoziente $\frac{f}{g}$, se $g(x_0)\ne 0$.

Si può dimostrare che sono continue tutte le funzioni seguenti: dove non vedi specifiche diverse, le funzioni sono continue su tutto $\mathbb{R}$.

• la funzione costante $f(x)=k$ per ogni $k\in \mathbb{R}$ fissato;

• la funzione identità $f(x)=x$;

• le funzioni razionali intere $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$(i polinomi);

• le funzioni razionali fratte $f(x)={\displaystyle \frac{A(x)}{B(x)}}$, dove $A(x),B(x)$ sono polinomi in $x$, sono continue in ogni punto in cui non si annulla il denominatore;

• le funzioni irrazionali $\sqrt[n]{x}$, per ogni $n\in \mathbb{N},n>1$, sul loro dominio;

• le funzioni goniometriche $\sin (x)$, $\cos (x)$ e $\tan (x)$;

• le funzioni esponenziali $a^x$ per ogni scelta della base $a>0,a\ne 1$;

• le funzioni logaritmiche ${\log }_a(x)$ per ogni scelta della base $a>0,a\ne 1$ sono continue sul loro dominio;

• le funzioni potenza $x^{\alpha }$ per ogni $\alpha >0$.

Le dimostrazioni non sono complicate, ma sono piuttosto lunghe e noiose: ti mostro come funziona in un caso semplice.

Considera la funzione $f(x)=x$. Per dimostrare che è continua devi provare che $$\underset{x\to x_0}{lim}x=x_0$$ ovvero che, qualunque sia la scelta di $\epsilon$ $$|x-x_0|<\epsilon$$ se scelgo $x$ abbastanza vicina al punto $x_0$. Questo è piuttosto facile: basta scegliere $x$ nell'intervallo $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$!

Per le altre funzioni si prosegue in modo simile, a volte aiutandosi con i teoremi: ad esempio, le potenze sono continue perché sono prodotti della funzione identità per sé stessa. Dato che sono continue sia le costanti che le potenze, lo sono anche i polinomi; la continuità delle le funzioni razionali fratte è una conseguenza della continuità dei polinomi.

Funzione continua o discontinua in un punto: esempi

Vediamo qualche esempio pratico di come decidere se una funzione è continua seguendo la definizione.

Cerchiamo di continuare l'esercizio "mettendoci una pezza".

Considera la funzione $$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}& \text{ se }x\ne 2\\ \\ 7& \text{ se }x=2\end{array}$$Si può dire che è continua nel punto $2$?

Anche stavolta devi controllare che valgano tutti e tre i punti.

1. Stavolta la funzione è definita su tutto $\mathbb{R}$: l'unico punto problematico per la frazione prende un valore diverso.
2. Bisogna verificare che esista $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}$ e che non sia $\mathrm{\infty }$. Dato che le funzioni fratte sono continue, puoi calcolare il limite sostituendo: il numeratore della funzione tende al valore $4$ mentre il denominatore tende a $0$: i teoremi sui limiti dicono quindi che $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x+2}{x-2}}\to {\displaystyle \frac{4}{0}}\to \mathrm{\infty }$. Non serve nemmeno studiare se è $+\mathrm{\infty }$ o $-\mathrm{\infty }$: questo limite sicuramente non è finito.

Nella figura vedi il grafico di questa funzione. Come puoi vedere, in realtà i limiti destro e sinistro nel punto $2$ sono uno a $+\mathrm{\infty }$ e uno a $-\mathrm{\infty }$, quindi non c'è nessuna speranza di rendere continua la funzione.

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Figura 4. La funzione $f$ ha limiti destro e sinistro infiniti in $x_0=2$.

È il caso di gettare la spugna: proviamo con qualche altra funzione!

Punti di discontinuità

Si dice che $x_0$ è un punto di discontinuità per la funzione $f(x)$ se $f$ non è continua in $x_0$. Ci sono tre tipi, anzi tre specie, di discontinuità.

La differenza$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)-\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$$ si chiama salto della funzione in $x_0$: è il caso che corrisponde alla figura 2 qui sopra. Questa discontinuità si trova spesso quando ci sono dei quozienti con i valori assoluti.

Questo secondo caso è quello che hai visto nella figura 4. La funzione avvicinandosi al punto $2$ va a $+\mathrm{\infty }$ a destra e a $-\mathrm{\infty }$ a sinistra. Non è necessario che tutti e due i limiti siano infiniti: è sufficiente che lo sia uno dei due!

C'è anche un terzo tipo di discontinuità.

Due esempi di questo tipo di discontinuità sono in figura 1 e in figura 3. Questa discontinuità è chiamata anche eliminabile, perché l'idea è che basta "correggere" la definizione della funzione nel punto $x_0$ definendo:

$$f(x_0):=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$$

e la funzione risultante è continua su tutto il dominio.