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Quando una funzione è continua?
Hai sicuramente sentito dire che "una funzione è continua se il suo grafico può essere disegnato senza staccare la penna dal foglio". Cerchiamo di ragionare su questo concetto con qualche esempio.
Prova a disegnare questa funzione e ti renderai conto che a un certo punto devi alzare la penna dal foglio: quel punto è precisamente il punto \(x_0\), in cui il grafico ha una specie di "buco". Il pallino vuoto indica che la funzione non è nemmeno definita in \(x_0\)!
Figura 1. La funzione \(h(x)\) non è definita in \(x_0\): non può essere continua.
Quindi è importante che la funzione a cui stai pensando sia definita nel punto \(x_0\): altrimenti il grafico deve interrompersi per forza!
Il fatto che la funzione sia definita in un punto, però, garantisce di non dover alzare la penna dal foglio? Vediamo un altro caso.
In questo secondo grafico la funzione è definita nel punto \(x_0\). Il problema è che a destra e a sinistra del punto ha due comportamenti diversi!
Figura 2. Il limite destro e sinistro di \(g(x)\) in \(x_0\) sono diversi: \(g\) non è continua in \(x_0\).
La funzione in questo punto non ha un limite: esistono un limite destro e un limite sinistro diversi tra di loro. In formule:
\[\lim_{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_{x \to x_0^-} f(x) \; \Longrightarrow \; \not\exists \lim_{x \to x_0} f(x)\]
Se il limite in un certo punto non esiste, la funzione non può essere continua!
Il fatto che la funzione sia definita nel punto non è sufficiente ad assicurare che sia continua. L'esistenza del limite, invece, sembra importante. Potresti pensare di definire una funzione continua come una funzione in cui il limite esiste in ogni punto. Sembra una buona idea, no? Eppure manca ancora qualcosa.
Nel grafico seguente la funzione è definita nel punto \(x_0\) e il limite esiste. Per disegnare il grafico, però, devi comunque staccare la penna e disegnare un puntino separato per \(f(x_0)\). Questo succede perché \[\lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0)\]
Figura 3. La funzione \(f(x)\) è definita nel punto \(x_0\), ma il limite di \(f\) per \(x \to x_0\) è diverso dal valore \(f(x_0)\).
Non basta che il limite della funzione nel punto esista: deve essere uguale al valore \(f(x_0)\)!
A questo punto hai visto abbastanza da capire perché la definizione deve essere molto precisa!
Definizione di funzione continua
Data una funzione \(f(x) : [a,b] \to \mathbb{R}\) e un punto \(x_0 \) con \(a < x_0 < b\), si dice che \(f\) è continua nel punto \(x_0\) se e solo se \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
Nota che nella definizione si chiedono varie cose: la funzione deve essere definita sul punto \(x_0\), che evita di cadere nel primo problema. Inoltre \(x_0\) deve essere interno all'intervallo: questo assicura che sia un punto di accumulazione e che si possa calcolare il limite.
Per verificare se una funzione \(f(x)\) è continua in un punto \(x_0\) seguendo la definizione devi controllare tre passaggi:
Come prima cosa devi assicurarti che \(f\) sia definita non solo nel punto \(x_0\) ma in un piccolo intervallo intorno al punto.
Controlla che \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\) esista e che non sia \(\infty\). In questo caso infatti non potrebbe essere uguale al valore della funzione.
Controlla che il valore \(f(x_0)\) sia uguale al limite \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\).
Se uno solo di questi punti salta, puoi fermarti ed evitare di controllare gli altri: sicuramente la funzione non sarà continua in quel punto!
L'idea generale è che la maggioranza delle funzioni siano continue "quasi dappertutto", con l'eccezione di qualche punto qua e là.
Una funzione \(f(x) : [a,b] \to \mathbb{R}\) è continua se è continua in ogni punto del suo dominio.
Continuità di funzioni elementari
I limiti servono per definire le funzioni continue, ma anche le funzioni continue servono nei calcoli dei limiti! Sapendo che una funzione è continua, allora per calcolare il limite in ogni suo punto è sufficiente calcolare il valore della funzione in quel punto perché \[\lim_\limits{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]
Questo è un enorme passo in avanti, a patto di dimostrare la continuità della funzione con cui devi lavorare. L'idea è di dimostrare la continuità di tutte le funzioni più comuni, quelle che vengono chiamate "funzioni elementari", e che la continuità sia mantenuta dalle operazioni con cui si creano nuove funzioni.
Grazie ai teoremi sui limiti, si può dimostrare che se due funzioni \(f, g\) sono continue un un punto \(x_0\), allora sono continue anche
la loro somma \(f+g\);
la loro differenza \(f-g\);
il loro prodotto \(f \cdot g\);
il loro quoziente \(\frac{f}{g}\), se \(g(x_0) \neq 0\).
Si può dimostrare che sono continue tutte le funzioni seguenti: dove non vedi specifiche diverse, le funzioni sono continue su tutto \(\mathbb{R}\).
la funzione costante \(f(x)=k\) per ogni \(k \in \mathbb{R}\) fissato;
la funzione identità \(f(x)=x\);
le funzioni razionali intere \(f(x) = a_n x^n + \dots +a_1 x +a_0\)(i polinomi);
le funzioni razionali fratte \(f(x)= \dfrac{A(x)}{B(x)}\), dove \(A(x), B(x)\) sono polinomi in \(x\), sono continue in ogni punto in cui non si annulla il denominatore;
le funzioni irrazionali \(\sqrt[n]{x}\), per ogni \(n \in \mathbb{N}, n > 1\), sul loro dominio;
le funzioni goniometriche \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) e \(\tan(x)\);
le funzioni esponenziali \(a^x\) per ogni scelta della base \(a >0, a \neq 1\);
le funzioni logaritmiche \(\log_a(x)\) per ogni scelta della base \(a >0, a \neq 1\) sono continue sul loro dominio;
le funzioni potenza \(x^{\alpha} \) per ogni \(\alpha>0\).
Le dimostrazioni non sono complicate, ma sono piuttosto lunghe e noiose: ti mostro come funziona in un caso semplice.
Considera la funzione \(f(x)=x\). Per dimostrare che è continua devi provare che \[\lim_{x \to x_0} x = x_0\] ovvero che, qualunque sia la scelta di \(\varepsilon\) \[| x-x_0| < \varepsilon\] se scelgo \(x\) abbastanza vicina al punto \(x_0\). Questo è piuttosto facile: basta scegliere \(x\) nell'intervallo \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\)!
Per le altre funzioni si prosegue in modo simile, a volte aiutandosi con i teoremi: ad esempio, le potenze sono continue perché sono prodotti della funzione identità per sé stessa. Dato che sono continue sia le costanti che le potenze, lo sono anche i polinomi; la continuità delle le funzioni razionali fratte è una conseguenza della continuità dei polinomi.
Funzione continua o discontinua in un punto: esempi
Vediamo qualche esempio pratico di come decidere se una funzione è continua seguendo la definizione.
Si può dire che la funzione \(f(x)= \dfrac{x+2}{x-2}\) è continua nel punto \(2\)?
Bisogna verificare se valgono tutti e tre i punti della lista.
- La funzione nel punto \(2\) non è definita: infatti il suo denominatore si annulla in questo punto. Dato che \(f(x)\) non è definita in \(2\), sicuramente non è continua in questo punto: esercizio finito!
Cerchiamo di continuare l'esercizio "mettendoci una pezza".
Considera la funzione \[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{x-2} & \text{ se } x \neq 2 \\ \\\;\; 7 & \text{ se } x=2 \end{cases}\]Si può dire che è continua nel punto \(2\)?
Anche stavolta devi controllare che valgano tutti e tre i punti.
- Stavolta la funzione è definita su tutto \(\mathbb{R}\): l'unico punto problematico per la frazione prende un valore diverso.
- Bisogna verificare che esista \(\lim_\limits{x \to 2}\dfrac{x+2}{x-2}\) e che non sia \(\infty\). Dato che le funzioni fratte sono continue, puoi calcolare il limite sostituendo: il numeratore della funzione tende al valore \(4\) mentre il denominatore tende a \(0\): i teoremi sui limiti dicono quindi che \(\lim_\limits{x \to 2}\dfrac{x+2}{x-2} \to \dfrac{4}{0} \to \infty\). Non serve nemmeno studiare se è \(+\infty\) o \(-\infty\): questo limite sicuramente non è finito.
Nella figura vedi il grafico di questa funzione. Come puoi vedere, in realtà i limiti destro e sinistro nel punto \(2\) sono uno a \(+\infty\) e uno a \(-\infty\), quindi non c'è nessuna speranza di rendere continua la funzione.
Figura 4. La funzione \(f\) ha limiti destro e sinistro infiniti in \(x_0=2\).
È il caso di gettare la spugna: proviamo con qualche altra funzione!
Considera la funzione \[f(x) = \begin{cases} -x^2+9 &\text{se } x \leq 2 \\ x+3 &\text{se } x > 2 \end{cases} \] e studia se è continua nel punto \(2\).
- \(f\) è definita nel punto \(2\): la prima condizione è verificata.
- Ora devi calcolare il limite. Dato che è una funzione definita a tratti bisogna trovare il limite destro e sinistro: grazie ai risultati sulle funzioni continue puoi farlo velocemente sostituendo \(2\) nella legge della funzione. \[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} -x^2+9 =-2^2+9=-4+9=5 \] \[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x+3 =2+3=5 \] I limiti destro e sinistro esistono e sono uguali: seconda condizione verificata!
- La terza condizione è che il limite sia uguale a \(f(x_0) = f(2)\), che vale precisamente \(5\).
La funzione considerata quindi è continua in \(2\).
Punti di discontinuità
Si dice che \(x_0\) è un punto di discontinuità per la funzione \(f(x)\) se \(f\) non è continua in \(x_0\). Ci sono tre tipi, anzi tre specie, di discontinuità.
Si dice che \(f(x)\) ha una discontinuità di prima specie nel punto \(x_0\) se esistono finiti il limite destro e sinistro ma sono diversi tra loro.
\[\lim_\limits{x \to x_0^+} f(x) \neq \lim_\limits{x \to x_0^-} f(x)\]
La differenza\[\lim_\limits{x \to x_0^+} f(x) - \lim_\limits{x \to x_0^-} f(x)\] si chiama salto della funzione in \(x_0\): è il caso che corrisponde alla figura 2 qui sopra. Questa discontinuità si trova spesso quando ci sono dei quozienti con i valori assoluti.
Si dice che \(f(x)\) ha una discontinuità di seconda specie nel punto \(x_0\) se almeno uno tra il limite destro e quello sinistro è infinito, o non esiste.
Questo secondo caso è quello che hai visto nella figura 4. La funzione avvicinandosi al punto \(2\) va a \(+\infty\) a destra e a \(-\infty\) a sinistra. Non è necessario che tutti e due i limiti siano infiniti: è sufficiente che lo sia uno dei due!
C'è anche un terzo tipo di discontinuità.
Si dice che \(f(x)\) ha una discontinuità di terza specie nel punto \(x_0\) se esiste finito il limite \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\), ma è diverso da \(f(x_0)\), oppure la funzione non è definita in \(x_0\).
Due esempi di questo tipo di discontinuità sono in figura 1 e in figura 3. Questa discontinuità è chiamata anche eliminabile, perché l'idea è che basta "correggere" la definizione della funzione nel punto \(x_0\) definendo:
\[f(x_0) := \lim_\limits{x \to x_0} f(x)\]
e la funzione risultante è continua su tutto il dominio.
Funzioni continue - Punti chiave
- La definizione di continuità di una funzione cerca di descrivere il concetto di "grafico disegnato senza staccare la penna dal foglio".
- Data una funzione \(f(x) : [a,b] \to \mathbb{R}\) e un punto \(x_0 \in (a, b)\), si dice che \(f\) è continua nel punto \(x_0\) se e solo se \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\).
- Una funzione è continua se è continua in tutti i punti del suo dominio.
- Per verificare che una funzione sia continua in un punto \(x_0\) devi controllare tre condizioni. La prima è che \(f\) sia definita in un intervallo aperto che contiene \(x_0\). La seconda è che \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\) esista finito. La terza condizione è che \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)=f(x_0)\).
- Somma, differenza, prodotto e quoziente di funzioni continue sono continue.
- Le funzioni elementari sono tutte continue nel loro dominio: questo riguarda le costanti, i polinomi, le funzioni razionali fratte, le funzioni irrazionali, logaritmiche, esponenziali e trigonometriche.
- Un punto di discontinuità è un punto in cui una funzione non è continua.
- Se i limiti destro e sinistro di una funzione nel punto \(x_0\) sono diversi, la discontinuità è di prima specie.
- Se il limite destro o sinistro nel punto \(x_0\) risultano infiniti, o se il limite non esiste, il punto di discontinuità è di seconda specie.
- Se il limite della funzione nel punto \(x_0\) esiste, ma è diverso dal valore \(f(x_0)\) la discontinuità è di terza specie.
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Domande frequenti riguardo Funzione continua
Quali sono le funzioni continue?
Quasi tutte le funzioni più comuni sono continue nel loro dominio: polinomi, radici, logaritmi, funzioni trigonometriche. È più difficile trovare una funzione discontinua: considera la funzione f(x) che vale 1 sui numeri positivi, -1 sui numeri negativi, e 0 sullo zero. Questa funzione è discontinua in 0, ma è continua in ogni altro punto!
Come si fa a vedere se una funzione è continua?
Per vedere se una funzione è continua, da definizione, bisogna verificare che, per ogni x0 nel dominio della funzione, il limite di f(x) per x che tende a x0 coincida con il valore f(x0).
In pratica, si sfruttano alcuni risultati teorici che garantiscono la continuità delle funzioni più comuni e della loro composizione.
Quando una funzione è continua, è discontinua?
Una funzione non può essere sia continua che discontinua. Bisogna però fare attenzione al fatto che "continua" può essere relativo a un punto oppure al comportamento generale: capita spesso che una funzione sia discontinua in un certo punto, ma sia continua su tutto il resto del dominio.
Quanti tipi di discontinuità esistono?
La discontinuità in un punto viene classificata in tre tipi: di prima specie (il "salto"), di seconda specie (quando la funzione va all'infinito) e terza specie (discontinuità eliminabile).
Quando la discontinuità è eliminabile?
La discontinuità è eliminabile quando il limite della funzione in un punto esiste, ma la funzione ha un valore diverso o non è definita.
Ad esempio, la funzione f(x)=x2/x ha una discontinuità di questo tipo in 0: la funzione non è definita, ma il limite esiste e vale 0. Se estendo la funzione definendo f(0)=0, la funzione risultante è continua in ogni punto.
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