Funzione continua

Definizione di funzione continua

Nota che nella definizione si chiedono varie cose: la funzione deve essere definita sul punto \(x_0\), che evita di cadere nel primo problema. Inoltre \(x_0\) deve essere interno all'intervallo: questo assicura che sia un punto di accumulazione e che si possa calcolare il limite.

Per verificare se una funzione \(f(x)\) è continua in un punto \(x_0\) seguendo la definizione devi controllare tre passaggi:

1. Come prima cosa devi assicurarti che \(f\) sia definita non solo nel punto \(x_0\) ma in un piccolo intervallo intorno al punto.

2. Controlla che \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\) esista e che non sia \(\infty\). In questo caso infatti non potrebbe essere uguale al valore della funzione.

3. Controlla che il valore \(f(x_0)\) sia uguale al limite \(\lim_\limits{x \to x_0} f(x)\).

Se uno solo di questi punti salta, puoi fermarti ed evitare di controllare gli altri: sicuramente la funzione non sarà continua in quel punto!

L'idea generale è che la maggioranza delle funzioni siano continue "quasi dappertutto", con l'eccezione di qualche punto qua e là.

Continuità di funzioni elementari

I limiti servono per definire le funzioni continue, ma anche le funzioni continue servono nei calcoli dei limiti! Sapendo che una funzione è continua, allora per calcolare il limite in ogni suo punto è sufficiente calcolare il valore della funzione in quel punto perché \[\lim_\limits{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\]

Questo è un enorme passo in avanti, a patto di dimostrare la continuità della funzione con cui devi lavorare. L'idea è di dimostrare la continuità di tutte le funzioni più comuni, quelle che vengono chiamate "funzioni elementari", e che la continuità sia mantenuta dalle operazioni con cui si creano nuove funzioni.

Grazie ai teoremi sui limiti, si può dimostrare che se due funzioni \(f, g\) sono continue un un punto \(x_0\), allora sono continue anche

• la loro somma \(f+g\);

• la loro differenza \(f-g\);

• il loro prodotto \(f \cdot g\);

• il loro quoziente \(\frac{f}{g}\), se \(g(x_0) \neq 0\).

Si può dimostrare che sono continue tutte le funzioni seguenti: dove non vedi specifiche diverse, le funzioni sono continue su tutto \(\mathbb{R}\).

• la funzione costante \(f(x)=k\) per ogni \(k \in \mathbb{R}\) fissato;

• la funzione identità \(f(x)=x\);

• le funzioni razionali intere \(f(x) = a_n x^n + \dots +a_1 x +a_0\)(i polinomi);

• le funzioni razionali fratte \(f(x)= \dfrac{A(x)}{B(x)}\), dove \(A(x), B(x)\) sono polinomi in \(x\), sono continue in ogni punto in cui non si annulla il denominatore;

• le funzioni irrazionali \(\sqrt[n]{x}\), per ogni \(n \in \mathbb{N}, n > 1\), sul loro dominio;

• le funzioni goniometriche \(\sin(x)\), \(\cos(x)\) e \(\tan(x)\);

• le funzioni esponenziali \(a^x\) per ogni scelta della base \(a >0, a \neq 1\);

• le funzioni logaritmiche \(\log_a(x)\) per ogni scelta della base \(a >0, a \neq 1\) sono continue sul loro dominio;

• le funzioni potenza \(x^{\alpha} \) per ogni \(\alpha>0\).

Le dimostrazioni non sono complicate, ma sono piuttosto lunghe e noiose: ti mostro come funziona in un caso semplice.

Considera la funzione \(f(x)=x\). Per dimostrare che è continua devi provare che \[\lim_{x \to x_0} x = x_0\] ovvero che, qualunque sia la scelta di \(\varepsilon\) \[| x-x_0| < \varepsilon\] se scelgo \(x\) abbastanza vicina al punto \(x_0\). Questo è piuttosto facile: basta scegliere \(x\) nell'intervallo \((x_0 - \varepsilon, x_0 + \varepsilon)\)!

Per le altre funzioni si prosegue in modo simile, a volte aiutandosi con i teoremi: ad esempio, le potenze sono continue perché sono prodotti della funzione identità per sé stessa. Dato che sono continue sia le costanti che le potenze, lo sono anche i polinomi; la continuità delle le funzioni razionali fratte è una conseguenza della continuità dei polinomi.

Funzione continua o discontinua in un punto: esempi

Vediamo qualche esempio pratico di come decidere se una funzione è continua seguendo la definizione.

Cerchiamo di continuare l'esercizio "mettendoci una pezza".

È il caso di gettare la spugna: proviamo con qualche altra funzione!

Punti di discontinuità

Si dice che \(x_0\) è un punto di discontinuità per la funzione \(f(x)\) se \(f\) non è continua in \(x_0\). Ci sono tre tipi, anzi tre specie, di discontinuità.

La differenza\[\lim_\limits{x \to x_0^+} f(x) - \lim_\limits{x \to x_0^-} f(x)\] si chiama salto della funzione in \(x_0\): è il caso che corrisponde alla figura 2 qui sopra. Questa discontinuità si trova spesso quando ci sono dei quozienti con i valori assoluti.

Questo secondo caso è quello che hai visto nella figura 4. La funzione avvicinandosi al punto \(2\) va a \(+\infty\) a destra e a \(-\infty\) a sinistra. Non è necessario che tutti e due i limiti siano infiniti: è sufficiente che lo sia uno dei due!

C'è anche un terzo tipo di discontinuità.

Due esempi di questo tipo di discontinuità sono in figura 1 e in figura 3. Questa discontinuità è chiamata anche eliminabile, perché l'idea è che basta "correggere" la definizione della funzione nel punto \(x_0\) definendo:

\[f(x_0) := \lim_\limits{x \to x_0} f(x)\]

e la funzione risultante è continua su tutto il dominio.