Proprietà delle potenze

Proprietà delle potenze con la stessa base

Prodotto di potenze con la stessa base

Il prodotto di due potenze con la stessa base \(a\) è la potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. \[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]

Se provi a fare qualche calcolo sostituendo dei numeri alle lettere ti accorgi subito che ha senso: \[3^4\cdot 3^2 = (3\cdot 3\cdot 3\cdot 3) \cdot (3\cdot 3) = 3^6=3^{4+2}\]

Quoziente di potenze con la stessa base

Il quoziente di due potenze con la stessa base \(a\) è la potenza che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. \[a^n : a^m = a^{n-m}\]

Anche in questo caso, ci si rende conto che la proprietà è vera con qualche esempio: è più facile riscrivendo la divisione come una frazione.

\[3^4: 3^2 = \frac{3\cdot 3\cdot \cancel 3\cdot \cancel 3}{\cancel 3\cdot \cancel3} = 3^2 = 3^{4-2}\]

Potenza di potenza

Se si eleva una potenza a un altro esponente, il risultato è una potenza che ha come base la stessa base della potenza originale e come esponente il prodotto degli esponenti.

\[\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}\]

Questa proprietà sembra un po' più strana delle altre: conviene fare un esempio pratico anche in questo caso e capire che senso ha passaggio per passaggio.

Proprietà delle potenze con lo stesso esponente

Quando devi moltiplicare o dividere potenze che hanno lo stesso esponente, ma basi diverse, le proprietà appena viste non valgono. Si applica, invece, una proprietà distributiva delle potenze rispetto alla moltiplicazione e alla divisione: l'esponente che riguarda un prodotto (o un quoziente) può essere distribuito sui termini che compaiono nel prodotto (o nel quoziente). Vediamo le formule per i due casi: potenze e moltiplicazione, e potenze e divisione.

Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Il prodotto di due potenze con lo stesso esponente \(n\) è la potenza che ha come base il prodotto delle basi e come esponente lo stesso esponente. \[a^n \cdot b^n = (a\cdot b)^{n}\]

Come sopra, è bene fare un esempio pratico per rendersi conto del perché la proprietà è vera. \[4^3\cdot 2^3= (4\cdot 4\cdot 4) \cdot (2\cdot 2 \cdot 2) = (4 \cdot 2) \cdot (4 \cdot 2)\cdot (4 \cdot 2) =(4 \cdot 2)^3 \]

Quoziente di potenze con lo stesso esponente

Il quoziente di due potenze con lo stesso esponente \(n\) è la potenza che ha come base il quoziente delle basi e come esponente lo stesso esponente. \[a^n : b^n = (a: b)^{n}\]

Ecco un esempio per convincerti che ha senso: conviene scrivere la divisione come frazione.

\[4^3:2^3 = \frac{4\cdot 4\cdot 4}{2\cdot 2 \cdot 2} = \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{4}{2} = \left(\frac{4}{2}\right)^3 \]

Questa proprietà consente di definire le potenze anche sulle frazioni: basta distribuire l'esponente sia al numeratore che al denominatore.

\[ \left( \frac{a}{b}\right)^n := \frac{a^n}{b^n}\]

Esercizi sulle proprietà delle potenze

A questo punto passiamo alla pratica: fare esercizi aiuta sia a memorizzare le proprietà che a capire quando usarle.

Nel prossimo esercizio vedrai come usare le proprietà delle potenze per semplificare delle frazioni.

Le regole sulle proprietà delle potenze si applicano anche ai monomi.

Potenze con esponenti negativi e razionali

Quando qualcosa funziona bene, si cerca sempre di usarlo anche in altri contesti. Funziona così anche per le potenze: visto che gli esponenti naturali funzionano bene, la comunità matematica ha pensato bene di definire le potenze anche per esponenti interi, razionali e irrazionali. L'idea è quella di dare le definizioni in modo che continuino a valere le proprietà delle potenze.

Si parte dai numeri negativi, anzi, da \(-1\). La potenza con esponente \(-1\) è definita per ogni base eccetto \(0\), e dà come risultato l'inverso della base: ossia il numero che, moltiplicato per la base, dà \(1\). \[a^{-1} := \frac{1}{a} \qquad \text{ per }a \neq 0\]

Questo permette di definire allo stesso modo le potenze sui numeri negativi: una base elevata a un numero negativo dà l'inverso della potenza con l'esponente positivo. \[a^{-n} := \frac{1}{a^n}\]

Si possono definire anche potenze con esponente razionale: la potenza con esponente \(\frac{1}{n}\), per \(n \neq 0\), si definisce come la radice \(n\)-esima della base. Attenzione, però: se \(n\) è un numero pari, questa potenza è definita solo se \(a \geq 0\)!

\[a^{\frac{1}{n} }= \sqrt[n]{a}\]

A questo punto si può definire una potenza che ha per esponente qualsiasi numero razionale: il numeratore diventa l'esponente della potenza e il denominatore l'indice della radice.

\[ a^{\frac{n}{m}} := \sqrt[m]{a^n}\]

Questa proprietà si usa moltissimo quando lavori con i radicali.

Espressioni con proprietà delle potenze

Nelle espressioni con le potenze è importante ricordare in quale ordine fare le operazioni. In Italia si usa la convenzione PEMDAS: quando ci sono dubbi su quale operazione va svolta per prima, la priorità va ai calcoli tra Parentesi, poi quelli con gli Esponenti, dopodiché vengono Moltiplicazioni e Divisioni, infine Addizioni e Sottrazioni.

Passiamo alle frazioni!

Aggiungiamo qualche lettera per prendere confidenza con le potenze sui polinomi.