Frazioni algebriche

Trova il MCD tra i monomi \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).

Soluzione.

Devi trovare il monomio di grado più alto che divide entrambi i monomi. L'approccio più efficiente è di lavorare separatamente con le varie componenti: entrambi i monomi sono un prodotto tra una parte numerica, una potenza di \(x\) e una potenza di \(y\). Puoi trovare separatamente i MCD delle varie parti.

• Coefficienti: il MCD tra \(24\) e \(6\) è \(6\).
• Potenze di \(x\): il MCD è la potenza con l'esponente minore tra le due, e quindi \(x^2\).
• Potenze di \(y\): come nel caso precedente, prendi la potenza con il grado minore, ovvero \(y^4\).

A questo punto moltiplica i MCD delle varie parti:

\[6 \cdot x^2 \cdot y^4 = \mathbfit{ 6x^2y^4} \] e questo è il MCD tra \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).

Semplifica la frazione \(\dfrac{15t^3s^4}{20ts^5}\).

Soluzione.

Risolviamo questo esercizio calcolando il MCD con lo stesso procedimento già visto: il MCD tra \(15\) e \(20\) è 5, quello tra \(t^3\) e \(t\) è \(t\), e il MCD tra \(s^4\) e \(s^5\) è \(s^4\). Dunque il massimo comune divisore tra numeratore e denominatore è \(\mathbf{5ts^4}\).

Dividi numeratore e denominatore per questo termine: \[ \frac{15t^3s^4}{20ts^5} = \frac{(15t^3s^4):(5ts^4)}{(20ts^5):(5ts^4)} = \frac{3t^2}{4s}.\]

Semplifica la frazione \(\dfrac{56x^3y^2}{42x^2y^3}\).

Soluzione.

Puoi cominciare semplificando la parte letterale: semplifica tra loro le \(x\) alla massima potenza a cui compaiono. \[\frac{56x^3y^2}{42x^2y^3} = \frac{56\cancel{x^3}^x y^2}{42 \cancel{x^2} y^3} = \frac{56xy^2}{42y^3}\] Ora prosegui semplificando le \(y\). \[ \frac{56xy^2}{42y^3} = \frac{56x \cancel{y^2}}{42 \cancel{y^3}_y} = \frac{56x}{42y}\] A questo punto cerca dei divisori comuni di \(56\) e \(42\): sono entrambi pari, quindi puoi cominciare dividendo per \(2\). \[\frac{56x}{42y} = \frac{\cancel{56}^{28} x}{\cancel{42}_{21}y} = \frac{28x}{21y}\]Ora puoi dividere per \(7\). \[\frac{28x}{21y} = \frac{\cancel{28}^4 x}{\cancel{21}_3 y} = \mathbfit{\frac{4x}{3y}}\] Dato che nessun termine al numeratore ha fattori in comune con il denominatore, hai finito!

Semplifica \(\dfrac{p^2-4}{p^2-4p+4}\).

Soluzione.

Scomponi i polinomi: al numeratore hai una differenza di quadrati: \(p^2-4 =(p-2)(p+2)\). Al denominatore c'è il quadrato di un binomio: \(p^2-4p+4 = (p-2)^2\). Riscrivi la frazione con i fattori \[ \frac{p^2-4}{p^2-4p+4} = \frac{(p-2)(p+2)}{(p-2)^2}\] e semplifica il fattore in comune: \[\frac{\cancel{(p-2) }(p+2)}{(p-2)^{\cancel{2}} }= \frac{p+2}{p-2}.\]

Semplifica la frazione \(\dfrac{15y+12}{25y^2-16}\) ed esplicita le condizioni di esistenza.

Soluzione.

Comincia calcolando le condizioni di esistenza: il denominatore deve essere non nullo, quindi \(25y^2-16 \neq 0\). Fattorizza: è una differenza di quadrati. \[ 25y^2-16= (5y)^2-4^2 =(5y-4)(5y+4)\] Le condizioni di esistenza sono due, una per ogni fattore del denominatore.

1. \(5y-4 \neq 0\), che dà la \( \mathbf{C.E.}: y \neq \frac{5}{4}\).
2. \(5y+4 \neq 0\), che dà la \( \mathbf{C.E.}: y \neq -\frac{5}{4}\).

Ora fattorizza il numeratore: l'unica cosa che puoi fare è raccogliere un fattore \(3\). \[15y+12 = 3(5y+4)\] A questo punto punto sostituisci nella frazione e semplifica. \begin{align} \frac{15y+12}{25y^2-16} & = \frac{3(5y+4)}{(5y-4)(5y+4)} \\ & = \frac{3\cancel{(5y+4)}}{(5y-4)\cancel{(5y+4)}} \\ &= \frac{3}{5y-4} \end{align} Nota che per fare questo passaggio deve valere la seconda condizione di esistenza: altrimenti la semplificazione sarebbe una divisione per zero, che è impossibile!

La frazione ottenuta quindi è \(\dfrac{3}{5y-4}\) e le sue \(\mathbf{C.E.}\) sono \(y \neq \frac{5}{4}, y \neq -\frac{5}{4}\).

Trova il mcm tra i monomi \(24x^2y^6\) e \(6x^3y^4\).

Soluzione.

Mentre nel MCD prendi i fattori comuni con il minimo esponente, per calcolare il mcm devi considerare tutti i fattori comuni con il massimo esponente con cui compaiono. Come con il MCD, puoi lavorare dividendo i monomi a pezzi.

• Coefficienti: \(24\) è un multiplo di \(6\), quindi il mcm è proprio \(24\).
• Potenze di \(x\): devi prendere quella più alta: in questo caso è \(x^3\).
• Potenze di \(y\): il mcm in questo caso è \(y^6\).

Il mcm dei due monomi è il prodotto delle tre parti trovate: \(24 \cdot x^3 \cdot y^6 = \mathbfit{24x^3y^6}\).

Calcola la somma \[\frac{1}{y} + \frac{1}{y^2}.\]

Soluzione.

1. Calcola il mcm tra i denominatori. In questo caso è particolarmente semplice perché c'è un solo fattore, \(y\), e il massimo esponente con cui compare è \(2\): il mcm è \(y^2\).
2. Porta entrambe le frazioni al minimo comune denominatore. Per farlo devi moltiplicare numeratore e denominatore di ogni frazione per lo stesso fattore, che si trova dividendo il mcm per il denominatore. Quindi nel caso della prima frazione devi moltiplicare per \(y^2 : y = y\), mentre nel caso della seconda frazione devi moltiplicare per \(y^2:y^2=1\). Se preferisci, nella seconda frazione puoi notare che il denominatore è già il mcm, quindi non serve cambiare nulla. \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y^2} = \frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2} \]
3. Calcola la somma dei numeratori. \[ \frac{y}{y^2}+\frac{1}{y^2} = \frac{y+1}{y^2}\] Dato che non puoi scomporre questa somma, hai terminato il calcolo.

Calcola la differenza \[\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{p-3}.\]

Soluzione.

1. Calcola il minimo comune denominatore. Per farlo devi fattorizzare i polinomi: \(p-3\) è di primo grado, quindi non puoi scomporlo più di così. L'altro invece si può scomporre come trinomio caratteristico: \(6=(-2)(-3)\) e \(-5=-2-3\), quindi \(p^2-5p+6=(p-2)(p-3)\). Questo polinomio è multiplo dell'altro, e quindi è il mcm.
2. Porta entrambe le frazioni allo stesso denominatore: in questo caso sarà \((p-2)(p-3)\). La prima frazione è a posto così: la seconda va moltiplicata a numeratore e denominatore per \((p-2)(p-3):(p-3)=(p-2)\). \[\frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p}{(p-3)}\cdot \frac{(p-2)}{(p-2)}\]
3. Calcola la differenza tra i numeratori. Fai attenzione ai segni: il segno negativo davanti alla seconda frazione si applica a tutto il numeratore. \begin{align}& \frac{1}{p^2-5p+6}-\frac{p(p-2)}{(p-3)(p-2)} \\ & = \frac{1- (p^2-2p)}{(p-2)(p-3)} \\ & = \frac{1-p^2+2p}{(p-2)(p-3)}\end{align}

Moltiplica \[\frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{x^2-y^2}.\]

Soluzione.

1. Prima di fare la semplificazione incrociata devi scomporre in fattori. È quasi tutto già fatto, tranne il denominatore della seconda frazione: \(x^2-y^2 =(x-y)(x+y)\). \begin{align}& \frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{x^2-y^2} \\ &= \frac{x-y}{z}\cdot \frac{z^2}{(x-y)(x+y)}\end{align}
2. A questo punto puoi semplificare: il numeratore della prima frazione si semplifica col denominatore della seconda, e viceversa. \[ \frac{\cancel{(x-y)} }{\cancel{z}} \cdot \frac{z^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} \]
3. Ora dovresti fare le moltiplicazioni, ma c'è un solo fattore al numeratore e uno al denominatore: hai già ottenuto il risultato! \[ \frac{z}{(x+y)} \]

Calcola \[ \frac{rt^2}{15}: \frac{r^2}{5t}. \]

Soluzione.

1. Trasforma in moltiplicazione.\[\frac{rt^2}{15}: \frac{r^2}{5t}= \frac{rt^2}{15} \cdot \frac{5t}{r^2}\]
2. Semplifica il possibile. \[\frac{\cancel{r}t^{2}}{\cancel{15}_3} \cdot \frac{\cancel{5} t}{r^{\cancel{2}}}\]
3. Moltiplica i termini restanti. \[ \frac{t^2}{3} \cdot \frac{t}{r} = \frac{t^3}{3r}\]

Calcola \[ \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}:\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7}. \]

Soluzione.

1. Trasforma in moltiplicazione per il reciproco della seconda frazione. \begin{align} &\frac{x^2-9}{x^2+3x+2}:\frac{x^2+6x+9}{x^2+8x+7} = \\ & = \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\cdot \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9} \end{align}
2. Prima di proseguire devi scomporre in fattori tutti i termini. Il più semplice è il primo numeratore, che è una differenza di quadrati: \(x^2-9= (x-3)(x+3)\). Il suo denominatore si scompone come trinomio caratteristico: \(2=2\cdot 1, 3=2+1\) quindi \(x^2+3x+2=(x+2)(x+1)\). Il numeratore della seconda frazione si scompone con lo stesso metodo: \(7=7\cdot 1, 8=7+1\) e \(x^2+8x+7 =(x+7)(x+1)\). L'ultimo denominatore è un quadrato di binomio: \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). \begin{align} & \frac{x^2-9}{x^2+3x+2}\cdot \frac{x^2+8x+7}{x^2+6x+9} = \\ &= \frac{(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+1)} \cdot \frac{(x+7)(x+1)}{(x+3)^2} \end{align}
3. Ora fai le semplificazioni incrociate. \begin{align} \frac{(x-3)\cancel{(x+3)}}{(x+2)\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{(x+7)\cancel{(x+1)}}{(x+3)^{\cancel{2}}} \end{align}
4. Moltiplica i fattori rimanenti. \[ \frac{(x-3)(x+7)}{(x+2)(x+3)}\]

Calcola \[ \left(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}\right)^2\cdot ( a+b)^3\].

Soluzione.

1. Somma le frazioni tra parentesi. Dato che i due denominatori sono di primo grado, il minimo comune denominatore sarà il prodotto dei due. \begin{align} & \left(\frac{1}{a-b} - \frac{1}{a+b}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \left(\frac{a+b}{(a-b)(a+b)} - \frac{a-b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \left(\frac{a+b - a +b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 \\ & = \left(\frac{2b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3\end{align}
2. Applica la potenza al termine di sinistra. \begin{align} & \left(\frac{2b}{(a+b)(a-b)}\right)^2\cdot ( a+b)^3 = \\ & = \frac{(2b)^2}{(a+b)^2(a-b)^2}\cdot ( a+b)^3 \end{align}
3. Semplifica. \begin{align} & \frac{(2b)^2}{\cancel{(a+b)^2}(a-b)^2}\cdot ( a+b)^{\cancel3} \end{align}
4. Ora calcola la potenza del monomio e porta tutto su un'unica frazione. \begin{align} & \frac{(2b)^2}{(a-b)^2}\cdot ( a+b) = \\ & = \frac{4b^2(a+b)}{(a-b)^2} \end{align}

Svolgi l'espressione seguente. \[ \left( \frac{4a^4}{2a^2-ab} -\frac{ab^3}{2ab-b^2} \right): (2a^2+ab)\]

Soluzione.

Il primo passaggio è eseguire la sottrazione tra parentesi. Per farlo devi portare le due frazioni al minimo comune denominatore: devi quindi scomporre i denominatori in fattori. In entrambi i casi puoi raccogliere a fattore comune.

\[ 2a^2-ab =a(2a-b), \quad 2ab-b^2 =b(2a-b)\] Il minimo comune denominatore dovrà essere multiplo di tutti i fattori che compaiono: \(a,b, 2a-b\), e quindi è il prodotto di questi tre. Per arrivarci, la prima frazione va moltiplicata per \(b\) e la seconda per \(a\).

\begin{align} & \left( \frac{4a^4}{a(2a-b)} \cdot \frac{b}{b}-\frac{ab^3}{b(2a-b)} \cdot \frac{a}{a} \right): (2a^2+ab)\\ & = \left( \frac{4a^4b}{ab(2a-b)} -\frac{a^2b^3}{ab(2a-b)} \right):(2a^2+ab) \\ & = \frac{4a^4b-a^2b^3}{ab(2a-b)} : (2a^2+ab)\end{align}

Ora devi eseguire la divisione: trasformala in moltiplicazione per il reciproco. \[ \left( \frac{4a^4b-a^2b^3}{ab(2a-b)} \right)\cdot \frac{1}{(2a^2+ab)} \] Per fare una semplificazione incrociata devi scomporre. Comincia raccogliendo un fattore \(a^2b\) dal numeratore della frazione a sinistra. Nel denominatore di quella a destra puoi raccogliere \(a\). \[ \frac{a^2b(4a^2-b^2)}{ab(2a-b)} \cdot \frac{1}{a(2a+b)} \]C'è una differenza di quadrati al numeratore: fattorizzata questa, puoi semplificare. \begin{align} & \frac{a^2b(2a-b)(2a+b)}{ab(2a-b)} \cdot \frac{1}{a(2a+b)} = \\ &= \frac{a^2b \cancel{(2a-b)}\cancel{(2a+b)}}{ab \cancel{(2a-b)}} \cdot \frac{1}{a\cancel{(2a+b)}} \\ & = \frac{a^2b}{a^2b} \\ & = \mathbf{1} \end{align}

Trova le soluzioni dell'equazione seguente. \[ \frac{x-3}{x-2} - \frac{2}{x} = \frac{2}{x(x-2)}\]

Soluzione.

Come prima cosa devi trovare le condizioni di esistenza: i denominatori devono essere tutti diversi da zero. \[x \neq 0, \quad x -2 \neq 0, \quad x(x-2) \neq 0\] I fattori nell'ultimo denominatore sono gli stessi che ci sono nei primi due: quindi puoi concludere che \[\mathbf{C.E.}: x \neq 0, \; x \neq 2.\]

Ora passa a risolvere l'equazione: porta al minimo comune denominatore tutte le frazioni. I fattori che compaiono ai denominatori sono \(x, x-2\): il mcm quindi sarà il loro prodotto \(x(x-2)\). Le frazioni al membro sinistro vanno moltiplicate, la prima per \(x\), la seconda per \(x-2\): la frazione a destra invece ha già il denominatore giusto.

\begin{align} \frac{x-3}{x-2}\cdot \frac{x}{x} -\frac{2}{x}\cdot \frac{x-2}{x-2} & = -\frac{2}{x(x-2)} \\ \frac{x^2-3x}{x(x-2)} + \frac{2x-4}{x(x-2)} + \frac{2}{x(x-2)} & = 0 \\ \frac{x^2-3x+2x-4 +2 }{x(x-2)} & = 0 \\ \frac{x^2-x-2 }{x(x-2)} = 0\end{align} A questo punto, perché la frazione sia nulla, il numeratore deve essere uguale a zero: quindi basta risolvere l'equazione \[x^2-x-2=0.\] In pratica, puoi dimenticare il denominatore: non ha più importanza, purché sia diverso da zero. Questo perché \(0\) diviso qualunque numero dà sempre \(0\): è sufficiente concentrarsi sul numeratore!

Puoi risolvere l'equazione \(x^2-x-2=0\) con il tuo metodo preferito per le equazioni di secondo grado, ottenendo le soluzioni \[x_1 =- 1, x_2 =2.\] A questo punto devi confrontarle con le condizioni di esistenza: dato per \(x = 2\) si annullano due denominatori, questa non è una soluzione accettabile, perché fa perdere di senso all'equazione.

L'unica soluzione quindi è \(x_1 =-1\), che non viola le condizioni di esistenza.