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Sia esponenziali che logaritmi hanno molte applicazioni nei settori più disparati. Ad esempio, il pH in chimica segue una scala logaritmica; il decadimento radioattivo di una sostanza segue invece una legge esponenziale.
Esponenziale: definizione
Un elevamento a potenza è una scrittura del tipo \(m^n \) in cui \(m\) ed \(n\) sono numeri fissati: \(m\) si chiama base e \(n\) esponente. Se stai studiando monomi e polinomi, troverai numeri naturali al posto dell'esponente e incognite al posto della base: e così otterrai \( x^2, x^3\) ed altri. L’idea è far variare \(x\) tra i numeri reali e studiare come cambiano i valori che ottieni. Questo significa che al posto della base puoi avere anche numeri razionali, irrazionali, negativi: anche in questi casi, però, si può calcolare la potenza.
Succede una cosa diversa se fissi la base e studi come si comporta il valore di
$$a^x$$
al variare dell’esponente \(x\) tra i numeri reali. La prima domanda da farsi è: questo calcolo si può fare? Ti ricordo che l'idea è di mettere al posto dell'esponente qualunque numero reale \(x\)! Con un po' di esperimenti, puoi notare che scegliendo come base un numero negativo sorgono dei problemi: ad esempio se \(a=-1\) diventa problematico calcolare \(a^x\) per parecchi valori dell'esponente. Ad esempio,\( (-1)^{\frac{1}{2}} \) sarebbe la radice quadrata di \(-1\), che non è un numero reale. Questo non è l'unico esponente problematico: è difficile trovare un senso, e un valore, anche a \( (-1)^{-\frac{1}{2}} \) o \( (-1)^{\frac{1}{4}} \)!
Per evitare problemi di questo tipo, si richiede che la base sia positiva e diversa da 1. Diversa da \(1\) non per problemi di calcolo, al contrario: \(1^x\) vale sempre 1, quindi non c’è molto da studiare!
La funzione esponenziale \(a^x\) è definita per \(0< a < 1\) e \(a > 1\). Una maniera alternativa di scrivere l'insieme di definizione è \(a>0, a \neq 1\).
Grafico dell’esponenziale
Si può fare un grafico della funzione esponenziale sul piano cartesiano così come si fanno i grafici dei polinomi: ad ogni valore di \(x\) sull’asse delle ascisse si associa il valore \(a^x\) sull’asse delle ordinate.
Il grafico di \(y=a^x\) è l’insieme dei punti con coordinate \((x, y=a^x)\).
Scelta una base, ad esempio 2, bisogna calcolare \(2^x\) al variare di x. È utile fare il grafico anche con un'altra base: siccome \(2\) è maggiore di \(1\), conviene confrontarla con un'altra base compresa tra \(0\) e \(1\), in modo da vedere cosa c'è di simile e cosa è diverso. Nella tabella seguente troverai sia i valori di \( 2^x \) che quelli di \((\frac{1}{2})^x\): l'idea è studiare e confrontare queste due funzioni esponenziali.
x | \(2^x\) | \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) |
0 | 1 | 1 |
1 | 2 | \(\frac{1}{2}\) |
2 | 4 | \(\frac{1}{4}\) |
4 | 16 | \(\frac{1}{16}\) |
8 | 256 | \(\frac{1}{256}\) |
-1 | \(\frac{1}{2}\) | 2 |
-2 | \(\frac{1}{4}\) | 4 |
-4 | \(\frac{1}{16}\) | 16 |
-8 | \(\frac{1}{256}\) | 256 |
Puoi continuare aggiungendo altri punti: già con questi però hai un’idea. Nota come, nel caso di \(2^x\), i valori diventino sempre più grandi man mano che \(x\) diventa più grande. Sui numeri negativi, invece, ottieni valori sempre più piccoli, che si avvicinano a zero senza mai raggiungerlo. In altre parole, \(2^x\) è crescente: il valore della funzione aumenta con quello di \(x\). Succede il contrario nel caso di \((\frac{1}{2})^x\), che invece è decrescente: in questo caso, sostituendo a \(x\) un numero negativo ottieni valori molto grandi, mentre con un numero positivo i risultati sono molto piccoli.
Rappresenta questi valori sul piano cartesiano e uniscili con una linea, scegliendo un colore diverso per ognuna delle due basi. Nel grafico successivo vedi come, collegando i punti più scuri, si ottenga il grafico di \(2^x\), mentre con i punti in verde chiaro si trova quello di \((\frac{1}{2})^x\). Nota come sono speculari rispetto all’asse y!
Figura 1. Grafico di \(2^x\) (blu scuro) e \(\left(\frac{1}{2}\right)^x\) (verde chiaro).
Più in generale, i grafici delle funzioni esponenziali seguono due andamenti:
Se \(0<a<1\), allora l’esponenziale \(a^x\) è decrescente. Ogni scelta della base genera un grafico diverso, più o meno ripido, ma l’andamento è simile.
Grafico di varie funzioni esponenziali con base compresa tra 0 e 1.Se invece \(a>1\), l’esponenziale è crescente. Come prima, basi diverse generano grafici diversi, ma l’andamento non cambia.
Figura 2. Grafici di esponenziali con base maggiore di 1.
In entrambi i casi, puoi notare come il grafico resti al di sopra dell’asse x: l’esponenziale non prende mai valori negativi.
Logaritmo: definizione
Considera nuovamente l’equazione \(b=a^x\). Supponi di conoscere la base \(a\) e il risultato \(b\): come si fa a trovare l’esponente \(x\)? Per rispondere a questa domanda nasce la nozione di logaritmo:
Il logaritmo in base \(a\) di \(b\) è l’esponente \(x\) a cui va elevato \(a\) per ottenere \(b\), in formule:
$$ \log_a (b) =x \text{ se e solo se } a^x=b $$
I numeri \(a\) e \(b\) hanno un nome specifico: \(a\) è la base e \(b\) è l’argomento del logaritmo.
Il logaritmo è definito se \( a >0, a \neq 1 \) e \( b >0 \).
Le restrizioni su base e argomento hanno dei motivi: la base \(a\) deve rispettare gli stessi criteri che hai visto prima per l’esponenziale. L’argomento \(b\) deve essere positivo: altrimenti non può essere il risultato di un’esponenziale e non è possibile trovarne il logaritmo.
\(\log_2 8 =3\) perché \(2^3=8\)
\(\log_5 625 = 4\) perché \(5^4=625\)
\(\log_9 81 =2\) perché \(9^2=81\)
Il logaritmo inverte quello che fa l’esponenziale esattamente come le radici invertono l’elevamento a potenza. Ad esempio,
$$ 2^3 = 8 \text{ e } \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$$
Più in generale,
$$ x^n =y \text{ e } \sqrt[n]{y}= \sqrt[n]{x^n}=x$$
Allo stesso modo,
$$ 2^3=8 \text{ e } \log_2 8 = 3 $$
Il logaritmo in base 10, o logaritmo decimale, è tra quelli più usati: per indicarlo, non serve scrivere la base. In altre parole, \(\log x\) significa \(\log_{10} x\).
L’importanza di questo logaritmo è legata al fatto che permette di ottenere subito il numero di cifre di un numero: ti basta trovare il logaritmo, prenderne la parte intera e sommare 1.
\( \log 10 = 1\) il numero di cifre per scrivere 10 è 1+1=2.
\( \log 100 =2\): il numero di cifre di 100 è 2+1 = 3.
\(\log 5347 =3,72811…\); la parte intera è 3, quindi il numero di cifre è 3+1=4.
Grafico del logaritmo
Come per l’esponenziale, puoi fare un grafico della funzione \(y=\log_a x\) al variare della base \(a\). Puoi immaginare che anche per \(\log_a x\) i grafici abbiano andamenti diversi a seconda che la base \(a\) sia maggiore o minore di \(1\): è esattamente così!
Costruisci una tabella di valori come per l’esponenziale. Puoi confrontare, ad esempio, \(\log_2 x\) e \(\log_{\frac{1}{2}} x\). Per fare i calcoli puoi aiutarti con la definizione e i valori dell’esponenziale: ad esempio, \( \log_{2} \frac{1}{8} = -3\) perché \( 2^{-3} =\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}\).
x | \(\log_2 x\) | \(\log_{\frac{1}{2}} x\) |
1/8 | -3 | 3 |
1/4 | -2 | 2 |
1/2 | -1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
2 | 1 | -1 |
4 | 2 | -2 |
8 | 3 | -3 |
Segna i punti sul piano cartesiano e collegali con una linea: nel grafico sotto vedi in verde chiaro il logaritmo in base \(\frac{1}{2}\) e in blu scuro quello in base \(2\).
Figura 3. Grafico dei logaritmi in base \(\frac{1}{2}\), con colore più chiaro, e in base \(2\), con colore più scuro.
Nota come, ruotando di 90° verso destra il grafico dell’esponenziale, si ottiene quello del logaritmo! Questo succede perché le due funzioni sono inverse.
Come nel caso dell’esponenziale, gli andamenti generali sono due.
Quando la base è maggiore di 1, l’andamento è crescente: la curva è più o meno ripida a seconda delle scelte di \(a > 1\):
Figura 4. Grafico di logaritmi con base \(a > 1\).
Quando la base è minore di 1, invece, c’è un andamento decrescente. Anche in questo caso, i grafici sono diversi per scelte diverse delle basi, ma l’andamento è comune.
Figura 5. Grafico di vari logaritmi con base compresa tra 0 e 1.
Numero di Nepero
Sia per le esponenziali che per i logaritmi si usa spesso come base un numero particolare: si chiama numero di Nepero, dal nome del matematico scozzese John Napier. A livello internazionale è più noto come numero di Eulero.
Si tratta di un numero irrazionale, compreso tra 2 e 3: come \(\pi\), ha infinite cifre nell’espansione decimale, e queste non si ripetono in modo regolare. Per rappresentarlo si usa la lettera \(e\): ecco le prime cifre decimali.
$$e =2,71828182845904523536…$$
Il logaritmo che ha come base il numero di Nepero si chiama logaritmo naturale e si indica scrivendo \(\ln x\).
Esponenziale e logaritmo: proprietà e formule
Per lavorare con esponenziali e logaritmi è fondamentale ripassare le proprietà delle potenze. Per ogni \(a, b, c \in \mathbb{R}\), con \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \(b, c > 0 \) valgono:
$$ a^b \cdot a^c = a^{b+c}$$
$$ a^{b} : a^c = \frac{a^b}{a^c} = a^{b-c} $$
$$(a^b)^c=a^{b\cdot c}$$
$$ a^{-b}=\frac{1}{a^b} $$
$$\left(a\cdot b \right)^c=a^c \cdot b^c$$
$$(\frac{a}{b})^c=\frac{a^c}{b^c}, \text{ per } b \neq 0$$
$$a^0=1$$
$$a^1=a $$
Da queste derivano anche le proprietà dei logaritmi. Per ogni \(a, b, c \in \mathbb{R}\), con \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \( b, c > 0 \) si ha:
$$ \log_a (b\cdot c) =\log_a b + \log_a c $$
$$ \log_a (\frac{b}{c}) =\log_a b - \log_a c$$
$$ \log_a b^c = c \log_a b$$
$$ \log_a 1 = 0$$
Esponenziali e logaritmi: esercizi
Passando alla pratica, potresti chiederti quali tipi di esercizi richiedono di maneggiare esponenziali e logaritmi. Gli esercizi più semplici chiedono di calcolare un logaritmo sfruttando la definizione e le loro proprietà.
Calcola \(\log_4 \sqrt[3]16\).
Come primo passaggio, dato che 4 è la base del logaritmo, scrivi 16 come potenza di 4.
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2}$$
Ora esprimi la radice con notazione esponenziale: la radice cubica del quadrato di 4 è uguale a 4 elevato a \(\frac{2}{3}\).
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}}$$
A questo punto, puoi portare l’esponente davanti al logaritmo:
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \log_4 4 $$
Quando l’argomento del logaritmo è uguale alla base, il risultato è 1: con questo concludi l’esercizio.
$$ \log_4 \sqrt[3]16 =\log_4 \sqrt[3]{4^2} = \log_4 4^{\frac{2}{3}}= \frac{2}{3} \log_4 4 =\frac{2}{3}\cdot 1 =\frac{2}{3}$$
Equazioni e disequazioni con esponenziali e logaritmi
Un tipo di esercizi più complicato sono le equazioni con esponenziali e logaritmi.
Un’equazione si dice esponenziale se l’incognita \(x\) compare nell’esponente di una o più potenze.
\( 5^{x+2}\cdot 5^{x+3}=125\) è un’equazione esponenziale: l’incognita compare come esponente in due potenze.
\( (x-1)^3-x+1=0\) non è un’equazione esponenziale: l’incognita, infatti, è presente solo nella base della potenza, non nell’esponente.
Qui su StudySmarter puoi trovare vari metodi per risolvere le equazioni esponenziali: la cosa fondamentale è fare esercizi per individuare di volta in volta il metodo più adatto.
Un’equazione si dice logaritmica se l’incognita \(x\) compare nella base o nell’argomento di un logaritmo.
\(\log_x 27 =3\) è un’equazione logaritmica: l’incognita infatti compare nella base.
\(\log (x+1) + \log (x-1) - \log (x-2) = \log 8\) è un’equazione logaritmica perché l’incognita compare nell’argomento di due logaritmi.
\(x=\log_2 4\) non è un’equazione logaritmica: l’incognita è fuori dal logaritmo!
Per risolvere le equazioni logaritmiche si sfrutta molto l’esponenziale e viceversa: è fondamentale capire entrambi gli argomenti!
Le disequazioni esponenziali e logaritmiche si risolvono con metodi simili a quelli delle equazioni: per manipolare queste diseguaglianze, però, è fondamentale controllare se la base è maggiore o minore di \(1\) e ricordare l’andamento delle funzioni nei due casi.
Esponenziali e logaritmi - Key takeaways
La funzione esponenziale \(a^x\) è definita per \(0 < a < 1\) o \( a > 1 \) e \( x > 0 \) : indica il valore che si ottiene fissando la base e facendo variare l’esponente.
Il logaritmo \(\log_a (x)\) è definito per \( 0 < a < 1 \) o \( a > 1 \) e per \( x>0 \): indica il valore che si deve mettere come esponente di \(a\) per ottenere \(x\).
Esponenziali e logaritmi nella stessa base sono l’uno l’inverso dell’altra.
I grafici di esponenziali e logaritmi hanno andamenti diversi a seconda del valore della base \(a\): per entrambe le funzioni, con \(0 < a < 1\) il grafico è decrescente, mentre con \( a > 1 \) è crescente.
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Domande frequenti riguardo Esponenziali e logaritmi
Quando è impossibile un’esponenziale?
Un’esponenziale è definita se la base a rispetta i requisiti: 0<a<1 o a>1. Non è definita se a ≤ 0 o a = 1.
Come capire se una funzione è esponenziale?
Una funzione è esponenziale se l’incognita (in genere la x)) compare nell’esponente. Quando la x compare nella base, ma non nell’esponente, hai davanti un polinomio!
Ad esempio: e2x+3 è esponenziale. (x+2)²-16x+18 invece non è un’esponenziale, ma un polinomio.
Come si fa a calcolare i logaritmi?
I logaritmi sfruttando la definizione su tutti i numeri che sono potenze della base: ad esempio, log2 8 = 3 perché 2³ =8.
Sugli altri numeri bisogna aiutarsi sfruttando le proprietà dei logaritmi: in passato, siccome il calcolo era molto lungo e complicato, alcune persone facevano i calcoli e poi stampavano libri di tavole logaritmiche. Oggi, per fortuna, abbiamo calcolatrici e computer potenti che ci consentono di calcolare un logaritmo in una frazione di secondo.
A cosa servono i logaritmi nella vita reale?
I logaritmi hanno moltissime applicazioni: dai decibel in acustica alla luminosità in astronomia fino al pH in chimica, sono davvero tante le grandezze in vari campi del sapere che possono essere descritte da una scala logaritmica. Conoscere i logaritmi e le loro proprietà aiuta a comprendere meglio queste scale e le loro proprietà a volte bizzarre.
Qual è la relazione tra funzione esponenziale e funzione logaritmica?
Le due funzioni sono inverse l’una dell’altra: questo significa che, ad esempio, ln ex =x e eln x=x (ma è vero per qualunque altra base a). Questa proprietà è importantissima quando si risolvono gli esercizi ed è utile anche nel calcolo di alcuni logaritmi.
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