Equazioni di secondo grado

Considera l'equazione monomia \( -\pi x^2 =0\). Non farti spaventare dal coefficiente \(-\pi\): l'unica soluzione è \(x =0\). Puoi verificarlo sostitudendo questo valore al posto di \(x\):

\[-\pi x^2 = -\pi \cdot 0^2 = -\pi \cdot 0 =0\]

Prova a risolvere l'equazione: \[-9x^2+4=0\]Svolgi i passaggi visti sopra: sposta il termine noto a sinistra.

\[-9x^2 =-4\]

Dividi per il coefficiente di \(x^2\):

\[x^2=\frac{-4}{-9} =\frac{4}{9}\]

In questo caso il termine a destra è positivo, quindi si può calcolarne la radice quadrata: questo ti dà le due soluzioni

\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{4}{9} }= \pm \frac{2}{3} \]

Prova a risolvere l'equazione: \[x^2+4=0\] Già al primo passaggio arrivi a

\[x^2 =-4\]

In questo caso non puoi proseguire: nei numeri reali non esiste la radice quadrata di \(-4\). Se elevi un qualsiasi numero reale al quadrato, non potrai mai avere \(-4\). Se il numero è positivo, lo sarà a maggior ragione il suo quadrato; se è negativo, come \(-2\), moltiplicato per se stesso (un altro numero negativo), diventa positivo (ricorda la regola \(- \cdot - = +\)).

Quindi l'equazione non ha soluzioni.

Prova a risolvere l'equazione \(x^2+4x=0\). Raccogli \(x\):

\[x (x+4) =0\]

E ora considera i due casi:

\[x_1 =0\]

\[x_2 +4 = 0 \Rightarrow x_2 =-4\]

Puoi verificare che entrambe sono soluzioni sostituendole nell'equazione iniziale:

\[x_1 =0: \Rightarrow 0^2+4\cdot 0 =0+0=0\]

\[x_2=-4: \Rightarrow (-4)^2+4(-4)= 16-16=0\]

Considera l'equazione \(x^2+14x+49=0\). In questo caso \(a=1=1^2\), \(b=14=2\cdot 7\), \(c = 49=7^2\): puoi individuare un quadrato di binomio e scomporlo come tale:

\[x^2+14x+49 = x^2+2\cdot 7 x +7^2 = (x+7)^2\]

L'equazione è risolta se \((x+7)^2=0\), cioè se \( x+7=0\): la soluzione è \(x=-7\).

Considera \(x^2-5x+6=0\). Puoi provare a scomporre l'equazione come trinomio caratteristico; ovvero, vedere se trovi due numeri \(m, n\) tali che

\[x^2-5x+6 = (x+m)(x+n)\]

In questo caso dovresti avere che \(n+m=-5\) e \(n\cdot m=6\). Per trovare questi numeri \(m, n\) conviene cercare i possibili modi di scrivere \(6\) come prodotto di due numeri, considerando anche i segni. La somma dei due numeri deve dare il coefficiente del termine di primo grado \(b=-5\). Le possibilità sono:

• \(6 = 1\cdot 6\), ma \(1+6=7\);
• \(6= (- 1) \cdot (-6)\), ma \(-1+(-6)=-7\);
• \(6=3\cdot 2\), ma \(3+2=5\);
• \(6=(-3)\cdot(- 2)\), e stavolta va bene perché \(-3-2=-5\).

Quindi \(x^2-5x+6=(x-3)(x-2)\). L'equazione da risolvere è

\[(x-3)(x-2)=0\]

che ha soluzione per \(x-3=0 \Rightarrow x=3\) e \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). Le soluzioni, quindi, sono \(x_1=3, x_2=2\).

Considera l'equazione \(2x^2+11x+12=0\). Questo certamente non è un quadrato né un trinomio caratteristico: per scomporlo però puoi usare un raccoglimento parziale.Passo 1. Fissati i valori \(a=2, b=11, c=12\) devi trovare due numeri il cui prodotto sia pari ad \(ac\), in questo caso \(2 \cdot 12 =24\), e la somma sia \(b\), in questo caso \(11\). Procedi per tentativi:

• \(1\cdot 24 =24\), ma \(1+24=25\);
• \(2\cdot 12 =24\), ma \(2 +12 =14\);
• \(3 \cdot 8 =24, 3+8=11\): ecco qui i numeri che ti servono.

Passo 2. Ora puoi riscrivere la stessa equazione come

\[2x^2+3x+8x+12=0\]

perché \(3x+8x=11x\).

Passo 3. Puoi fare un raccoglimento parziale: raccogli \(x\) dai primi due termini e \(4\) dagli altri due.

\[x(2x+3)+4(2x+3)=0\]

A questo punto puoi raccogliere \(2x+3\) e arrivare a:

\[(2x+3)(x+4)\]

Passo 4. Risolvi le equazioni di primo grado:\[\begin{align}2x+3 = 0 \; &\Rightarrow x_1 = -\frac{3}{2}, \phantom{space} \\x+4=0 \; &\Rightarrow x_2=-4\end{align}\]

Un altro metodo risolutivo è il completamento del quadrato. L'idea è cercare di trasformare l'equazione generale \[ax^2+bx+c =0\] in un'equazione pura del tipo

\[a(x + m)^2 + n =0\] dove l'incognita è \((x+m)\) e poi sfruttare il metodo per risolvere le equazioni pure. Andiamo con ordine: considera l'equazione

\[x^2 +6x+7=0\] L'idea è che quell'\(x^2+6x\) venga dallo sviluppo di un quadrato \((x+m)^2\): \(6x\) quindi deve essere il doppio prodotto \(2mx\), e quindi puoi dedurre che \(m=3\). Ora, \[(x+3)^2=x^2+6x+9\] mentre nell'equazione di partenza il termine noto è 7, non 9. Puoi sistemare le cose ricordando che \(7=9-2\).

\[x^2 +6x+7 = x^2 +6x + 9 - 2 = (x+3)^2 -2\]

Perfetto! Ora la struttura è simile a quella di un'equazione pura.

\[\begin{align} (x+3)^2 -2 & =0 \\(x+3)^2 &=2 \end{align}\] A questo punto le soluzioni si sdoppiano: in un caso consideri la soluzione positiva, in un altro quella negativa.\[\begin{align} & x_1 +3 = \sqrt{2} \phantom{space} &x_2 +3=-\sqrt{2}\\& x_1 = -3+\sqrt{2} & x_2 = -3-\sqrt{2} \end{align}\]

Considera l'equazione \(3x^2-4x-2\). Può essere conveniente calcolare subito \(\Delta\) per vedere se ci sono soluzioni:

\[\Delta = b^2-4ac = (-4)^2-4(3)(-2)=16+24=40\]

Il discriminante è positivo, quindi ci saranno due soluzioni!Sostituisci i valori di \(a, b,c \) nella formula: conviene inserire direttamente il valore di \(\Delta\). Ottieni

\[x_{1,2} = \frac{-(-4)\pm \sqrt{40}}{2\cdot 3} = \frac{4\pm 2\sqrt{10}}{2\cdot 3} = \frac{\not2 (2 \pm \sqrt{10})}{\not2 \cdot 3}\]

Le soluzioni quindi sono

\[x_1=\frac{2 +\sqrt{10}}{ 3}\approx 1,72 \phantom{spazio} x_2=\frac{2 -\sqrt{10}}{ 3} \approx -0,39 \]

Considera l'equazione \(x^2+x+1=0\). Anche in questo caso puoi calcolare subito il discriminante:

\[\Delta = b^2-4ac=1-4=-3\]

Il discriminante risulta negativo: l'equazione quindi non ha soluzione nei numeri reali.

Per l'equazione \(x^2+14x+49=0\), che hai già visto sopra, si ha

\[\Delta = 14^2 - 4\cdot49 = 196-196=0\]

e quindi

\[x_{1,2} = \frac{-14 \pm 0}{2} = -7 \]

Nota come è la stessa soluzione trovata prima, ed è giusto così: la soluzione non dipende dal metodo che usi.