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\[ \begin{align}x^2+2x -24 &=0, \;\; \; -2y+3= 6y^2, \\ 5p^2 - p&=0, \;\;\; \: \; \; \; \; \; \; \; \; \,r^2 = 200\end{align}\] La forma standard in cui si scrive un'equazione di secondo grado prevede di mettere tutti i termini a sinistra, ordinati dal grado più alto al più basso, in questo modo:
\[ax^2+bx+c=0\]
I termini \(a, b, c\) rappresentano dei numeri reali. Il coefficiente del termine di secondo grado è sempre indicato con la lettera \(a\) e deve sempre essere diverso da zero: altrimenti l'equazione non è di secondo grado! Il coefficiente del termine di secondo grado \(b\), o il termine noto \(c\), possono invece essere uguali a zero: in questo caso si dice che l'equazione è incompleta.
Equazioni di secondo grado incomplete
Ci sono tre possibili casi in cui l'equazione di secondo grado \(ax^2+bx+c=0\) è incompleta:
- \(b=c=0\): in questo caso l'equazione risulta \(ax^2=0\) e si chiama equazione monomia.
- \(b=0, c \neq 0\): l'equazione prende la forma \(ax^2+c=0\) e si chiama equazione pura.
- \(b \neq 0, c =0\): l'equazione risulta quindi \(ax^2+bx=0\) e si chiama equazione spuria.
In questi casi è più facile capire il ragionamento per arrivare alla soluzione: vediamo cosa succede caso per caso.
Equazioni di secondo grado monomie
Il caso più semplice che può capitare è quello dell'equazione monomia \(ax^2=0\). In questo caso, non importa quale sia il valore di \(a\): l'unica soluzione possibile è \(x=0\). Questo succede per la legge di annullamento del prodotto: se il prodotto di due fattori è zero, allora deve essere uguale a zero almeno uno dei due fattori. Dato che \(a \neq 0\), solo \(x=0\) può far annullare il prodotto.
Considera l'equazione monomia \( -\pi x^2 =0\). Non farti spaventare dal coefficiente \(-\pi\): l'unica soluzione è \(x =0\). Puoi verificarlo sostitudendo questo valore al posto di \(x\):
\[-\pi x^2 = -\pi \cdot 0^2 = -\pi \cdot 0 =0\]
Proprio perché tutte le equazioni monomie ammettono sempre e solo la stessa soluzione, in genere si parla di equazione monomia invece che di equazioni monomie.
Equazioni di secondo grado pure
Un altro caso particolare è quello in cui è nullo il termine di primo grado \(b\) e l'equazione risulta \[a x^2 +c =0\]
Per risolvere un'equazione pura, puoi isolare la \(x\) con qualche passaggio algebrico e estrarre la radice quadrata.
Come prima cosa, sposta la \(c\) a destra: \[a x^2 = -c\]
Ora dividi per \(a\) entrambi i membri: \[x^2 = \frac{-c}{a} \]
Infine estrai la radice quadrata, ottenendo due soluzioni opposte.
\[x_{1} = + \sqrt{\frac{-c}{a}} , \;\; x_{2} = - \sqrt{\frac{-c}{a}}\]
Puoi riassumere le due soluzioni in un'unica scrittura, in questo modo:\[x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{-c}{a}}\]
Nota che la radice si può calcolare solo nel caso in cui il termine sotto radice \(\frac{-c}{a}\) è positivo! Questo significa che non sempre un'equazione pura ha soluzione.
Prova a risolvere l'equazione: \[-9x^2+4=0\]Svolgi i passaggi visti sopra: sposta il termine noto a sinistra.
\[-9x^2 =-4\]
Dividi per il coefficiente di \(x^2\):
\[x^2=\frac{-4}{-9} =\frac{4}{9}\]
In questo caso il termine a destra è positivo, quindi si può calcolarne la radice quadrata: questo ti dà le due soluzioni
\[ x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{4}{9} }= \pm \frac{2}{3} \]
Prova a risolvere l'equazione: \[x^2+4=0\] Già al primo passaggio arrivi a
\[x^2 =-4\]
In questo caso non puoi proseguire: nei numeri reali non esiste la radice quadrata di \(-4\). Se elevi un qualsiasi numero reale al quadrato, non potrai mai avere \(-4\). Se il numero è positivo, lo sarà a maggior ragione il suo quadrato; se è negativo, come \(-2\), moltiplicato per se stesso (un altro numero negativo), diventa positivo (ricorda la regola \(- \cdot - = +\)).
Quindi l'equazione non ha soluzioni.
Equazioni di secondo grado spurie
Un'equazione incompleta in cui il termine noto \(c\) è uguale a zero si chiama spuria. Anche in questo caso l'equazione si può risolvere con qualche passaggio algebrico. La forma generale dell'equazione è
\[ax^2+bx=0\]
L'idea in questo caso è raccogliere la \(x\):
\[x(ax+b)=0\]
A questo punto si usa di nuovo la legge di annullamento del prodotto: dato che il loro prodotto fa zero, uno tra i due fattori \(x\) e \(ax+b\) deve essere uguale a zero.
\[x(ax+b)=0 \Rightarrow x = 0 \text{ oppure } ax+b=0\]
Nel primo caso hai già la soluzione: \(x_1 =0\). Nel secondo caso devi risolvere l'equazione di primo grado \(ax+b=0\) che ti dà la soluzione \(x_2 = - \frac{b}{a}\). A differenza delle equazioni pure, non ci sono problemi di calcolo: un'equazione spuria ha sempre due soluzioni, e una delle due vale sempre 0!
Prova a risolvere l'equazione \(x^2+4x=0\). Raccogli \(x\):
\[x (x+4) =0\]
E ora considera i due casi:
\[x_1 =0\]
\[x_2 +4 = 0 \Rightarrow x_2 =-4\]
Puoi verificare che entrambe sono soluzioni sostituendole nell'equazione iniziale:
\[x_1 =0: \Rightarrow 0^2+4\cdot 0 =0+0=0\]
\[x_2=-4: \Rightarrow (-4)^2+4(-4)= 16-16=0\]
Equazioni di secondo grado complete
A questo punto devi affrontare l'equazione completa \(ax^2+bx+c =0\) con \(a, b,c\) numeri reali diversi da zero. Nell'equazione incompleta si può sfruttare la legge di annullamento del prodotto; niente ci dice che non si possa usare anche per l'equazione completa! Dopotutto, il trucco, come nel caso dell'equazione spuria, è fattorizzare il polinomio: scriverlo come prodotto di due polinomi di primo grado.
Un'idea, quindi, è quella di provare a riconoscere se il polinomio è un prodotto notevole. In questo caso, puoi fattorizzarlo come prodotto di binomi di primo grado e risolverlo esattamente come hai visto nel caso dell'equazione spuria.
Se riconosci nell'equazione un prodotto notevole, i passaggi per risolverla sono sempre:
Passo 1: fattorizzare l'equazione scrivendola come prodotto di due polinomi di primo grado.
Passo 2: risolvere due equazioni di primo grado associate.
I casi che potresti riconoscere sono:
- quadrato di binomio
- trinomio caratteristico
Puoi provare a fattorizzare un'equazione anche usando altri metodi, ad esempio sfruttando il raccoglimento parziale.
Quadrato di binomio
Considera l'equazione \(x^2+14x+49=0\). In questo caso \(a=1=1^2\), \(b=14=2\cdot 7\), \(c = 49=7^2\): puoi individuare un quadrato di binomio e scomporlo come tale:
\[x^2+14x+49 = x^2+2\cdot 7 x +7^2 = (x+7)^2\]
L'equazione è risolta se \((x+7)^2=0\), cioè se \( x+7=0\): la soluzione è \(x=-7\).
Trinomio caratteristico
Considera \(x^2-5x+6=0\). Puoi provare a scomporre l'equazione come trinomio caratteristico; ovvero, vedere se trovi due numeri \(m, n\) tali che
\[x^2-5x+6 = (x+m)(x+n)\]
In questo caso dovresti avere che \(n+m=-5\) e \(n\cdot m=6\). Per trovare questi numeri \(m, n\) conviene cercare i possibili modi di scrivere \(6\) come prodotto di due numeri, considerando anche i segni. La somma dei due numeri deve dare il coefficiente del termine di primo grado \(b=-5\). Le possibilità sono:
- \(6 = 1\cdot 6\), ma \(1+6=7\);
- \(6= (- 1) \cdot (-6)\), ma \(-1+(-6)=-7\);
- \(6=3\cdot 2\), ma \(3+2=5\);
- \(6=(-3)\cdot(- 2)\), e stavolta va bene perché \(-3-2=-5\).
Quindi \(x^2-5x+6=(x-3)(x-2)\). L'equazione da risolvere è
\[(x-3)(x-2)=0\]
che ha soluzione per \(x-3=0 \Rightarrow x=3\) e \(x-2=0 \Rightarrow x=2\). Le soluzioni, quindi, sono \(x_1=3, x_2=2\).
Raccoglimento parziale
Considera l'equazione \(2x^2+11x+12=0\). Questo certamente non è un quadrato né un trinomio caratteristico: per scomporlo però puoi usare un raccoglimento parziale.Passo 1. Fissati i valori \(a=2, b=11, c=12\) devi trovare due numeri il cui prodotto sia pari ad \(ac\), in questo caso \(2 \cdot 12 =24\), e la somma sia \(b\), in questo caso \(11\). Procedi per tentativi:
- \(1\cdot 24 =24\), ma \(1+24=25\);
- \(2\cdot 12 =24\), ma \(2 +12 =14\);
- \(3 \cdot 8 =24, 3+8=11\): ecco qui i numeri che ti servono.
Passo 2. Ora puoi riscrivere la stessa equazione come
\[2x^2+3x+8x+12=0\]
perché \(3x+8x=11x\).
Passo 3. Puoi fare un raccoglimento parziale: raccogli \(x\) dai primi due termini e \(4\) dagli altri due.
\[x(2x+3)+4(2x+3)=0\]
A questo punto puoi raccogliere \(2x+3\) e arrivare a:
\[(2x+3)(x+4)\]
Passo 4. Risolvi le equazioni di primo grado:\[\begin{align}2x+3 = 0 \; &\Rightarrow x_1 = -\frac{3}{2}, \phantom{space} \\x+4=0 \; &\Rightarrow x_2=-4\end{align}\]
Completamento del quadrato
Un altro metodo risolutivo è il completamento del quadrato. L'idea è cercare di trasformare l'equazione generale \[ax^2+bx+c =0\] in un'equazione pura del tipo
\[a(x + m)^2 + n =0\] dove l'incognita è \((x+m)\) e poi sfruttare il metodo per risolvere le equazioni pure. Andiamo con ordine: considera l'equazione
\[x^2 +6x+7=0\] L'idea è che quell'\(x^2+6x\) venga dallo sviluppo di un quadrato \((x+m)^2\): \(6x\) quindi deve essere il doppio prodotto \(2mx\), e quindi puoi dedurre che \(m=3\). Ora, \[(x+3)^2=x^2+6x+9\] mentre nell'equazione di partenza il termine noto è 7, non 9. Puoi sistemare le cose ricordando che \(7=9-2\).
\[x^2 +6x+7 = x^2 +6x + 9 - 2 = (x+3)^2 -2\]
Perfetto! Ora la struttura è simile a quella di un'equazione pura.
\[\begin{align} (x+3)^2 -2 & =0 \\(x+3)^2 &=2 \end{align}\] A questo punto le soluzioni si sdoppiano: in un caso consideri la soluzione positiva, in un altro quella negativa.\[\begin{align} & x_1 +3 = \sqrt{2} \phantom{space} &x_2 +3=-\sqrt{2}\\& x_1 = -3+\sqrt{2} & x_2 = -3-\sqrt{2} \end{align}\]
Puoi provare a cercare una formula più generale a partire dal completamento del quadrato: nell'esercizio, i passaggi svolti sono stati questi:
\[ a(x+m)^2= -n \Rightarrow \; (x+m)^2=- \frac{n}{a} \; \Rightarrow x+m= \pm \sqrt{-\frac{n}{a}} \] A questo punto, le soluzioni sono: \[x_1 =-m+ \sqrt{\frac{-n}{a}} \;\;\; \text{ e } \;\;\; x_2 = - m - \sqrt{\frac{-n}{a}} \phantom{spazio} (*) \] In generale, da \(ax^2+bx+c=a(x+m)^2+n\) puoi ricavare il valore di \(m\) e \(n\):\[m = \frac{b}{2a} \;\;\; \text{ e } \;\;\; n = - \frac{ b^2}{4a} +c \] Se sostituisci nell'equazione \((*)\), trovi
\[x_1 = -\frac{b}{2a} + \sqrt{ \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{ b^2}{4a} - c \right)} = -\frac{b}{2a} + \sqrt{ \frac{ b^2 -4ac}{4a^2} } \] e
\[x_2 = -\frac{b}{2a} - \sqrt{ \frac{1}{a}\cdot \left(\frac{ b^2}{4a} -c \right)} =-\frac{b}{2a} - \sqrt{ \frac{ b^2 -4ac}{4a^2} } \]
Nota che per arrivare a queste soluzioni non c'è assolutamente nessuna ipotesi sui coefficienti. Può essere che questo metodo risolutivo funzioni sempre? Lo vedrai tra qualche riga!
Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado
Ognuno dei metodi per risolvere un'equazione di secondo grado che hai visto finora funziona solo in un caso specifico. C'è un altro metodo che, invece, funziona sempre: usare la formula risolutiva!
Data un'equazione di secondo grado
\[ ax^2+bx+c=0\]le soluzioni \(x_1\) e \(x_2\) si trovano con la formula
\[x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Il segno \(\pm\) e la scrittura \(x_{1,2}\) dicono che la formula contiene due soluzioni: una si trova facendo la somma dei due termini al numeratore, l'altra con la differenza.
Il termine sotto radice si chiama discriminante e si indica con la lettera greca delta (qualcuno usa delta come sinonimo di discriminante):
\[ \Delta = b^2-4ac\]
Il discriminante indica quante soluzioni ha l'equazione:
- se \(\Delta > 0\) l'equazione ha due soluzioni reali;
- se \(\Delta = 0\) l'equazione ha una sola soluzione reale;
- se \(\Delta < 0\) non esistono soluzioni reali dell'equazione.
Puoi anche riscrivere l'equazione come
\[x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}\]
Il discriminante risulta zero solo nel caso in cui l'equazione è un quadrato perfetto. Si ha \(ax^2+bx+c=(x-\overline{x})^2 \), dove con \(\overline{x}=x_1=x_2\) abbiamo indicato l'unica soluzione reale. In questo caso a volte si dice che ci sono due soluzioni coincidenti, invece che una sola: perché?
Il quadrato \((x-\overline{x})^2 \) è il prodotto di due fattori: \((x-\overline{x})(x-\overline{x})\), ognuno dei quali si annulla per \(x= \overline{x}\). Due soluzioni coincidenti vuol dire solo che contiamo sia la soluzione nella prima parentesi che la soluzione nella seconda.
Considera l'equazione \(3x^2-4x-2\). Può essere conveniente calcolare subito \(\Delta\) per vedere se ci sono soluzioni:
\[\Delta = b^2-4ac = (-4)^2-4(3)(-2)=16+24=40\]
Il discriminante è positivo, quindi ci saranno due soluzioni!Sostituisci i valori di \(a, b,c \) nella formula: conviene inserire direttamente il valore di \(\Delta\). Ottieni
\[x_{1,2} = \frac{-(-4)\pm \sqrt{40}}{2\cdot 3} = \frac{4\pm 2\sqrt{10}}{2\cdot 3} = \frac{\not2 (2 \pm \sqrt{10})}{\not2 \cdot 3}\]
Le soluzioni quindi sono
\[x_1=\frac{2 +\sqrt{10}}{ 3}\approx 1,72 \phantom{spazio} x_2=\frac{2 -\sqrt{10}}{ 3} \approx -0,39 \]
Considera l'equazione \(x^2+x+1=0\). Anche in questo caso puoi calcolare subito il discriminante:
\[\Delta = b^2-4ac=1-4=-3\]
Il discriminante risulta negativo: l'equazione quindi non ha soluzione nei numeri reali.
Per l'equazione \(x^2+14x+49=0\), che hai già visto sopra, si ha
\[\Delta = 14^2 - 4\cdot49 = 196-196=0\]
e quindi
\[x_{1,2} = \frac{-14 \pm 0}{2} = -7 \]
Nota come è la stessa soluzione trovata prima, ed è giusto così: la soluzione non dipende dal metodo che usi.
Equazioni di secondo grado - Key takeaways
- Un'equazione di secondo grado è un'equazione in cui compare un polinomio di secondo grado in una sola variabile: si può scrivere nella forma \(ax^2+bx+c\) per \(a, b, c \in \mathbb{R}\) e \(a \neq 0\).
- Se \(b\) o \(c\) sono nulli, l'equazione si dice incompleta; se sono entrambi diversi da zero, si dice completa.
- Si parla di equazione monomia se \(b=c=0\) e quindi l'equazione è del tipo \(ax^2=0\). In questo caso c'è sempre un'unica soluzione \(x=0\).
- Si parla di equazione pura se \(b=0\) e l'equazione è del tipo \(ax^2+c=0\). Esistono due soluzioni distinte solo se\(\frac{-c}{a} \geq 0\) e sono \(x_{1,2} = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}\).
- Si parla di equazione spuria se \(c=0\) e l'equazione prende la forma \(ax^2+bx=0\). In questo caso esistono sempre due soluzioni: \(x_1 =0\) e \(x_2 = - \frac{b}{a}\).
- L'equazione di secondo grado completa si può risolvere fattorizzando il polinomio: in questo caso le soluzioni sono quelle che annullano i fattori di primo grado.
- Se vuoi usare un metodo che funziona sempre, puoi imparare la formula risolutiva: se esistono, le soluzioni di un'equazione di secondo grado si trovano calcolando \[x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- L'esistenza delle soluzioni dipende dal discriminante, la quantità \(\Delta = b^2-4ac\). Se \(\Delta >0\) esistono due soluzioni reali distinte, se \(\Delta =0\) ne esiste una sola, se \(\Delta <0\) non esistono soluzioni reali.
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Domande frequenti riguardo Equazioni di secondo grado
Come si risolve un'equazione di secondo grado?
Il metodo generale per risolvere un'equazione di secondo grado \(ax^2+bx+c =0\) è quello di usare la formula \[x_{1,2} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] sostituendo i valori di \(a,b, c\) nell'equazione. Esistono soluzioni solo se il discriminante, la quantità sotto la radice quadrata, è maggiore o uguale a zero.
Quanti tipi di equazioni di secondo grado ci sono?
Un'equazione di secondo grado può essere completa se è del tipo \( ax^2+bx+c=0\), con \(a,b, c\), non nulli, altrimenti si dice che è incompleta. Ci sono tre tipi di equazione incompleta: monomia, in cui \(b=c=0\) (ad es. \(-3x^2=0\)); pura, in cui \(b=0\) e \(c \neq 0\)(ad esempio, \(x^2-4=0\)); spuria, in cui \(c=0\) e \(b \neq 0\) (come \(2x^2+x=0\))
Come si fa a calcolare il grado di un'equazione?
Il grado di un'equazione è l'esponente più alto con cui l'incognita compare nell'equazione. Ad esempio, \(x^2+2x^3-8=0\) è un'equazione di terzo grado, perché compare \(2x^3\) che è di grado 3.
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