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In pratica, prendi una qualunque equazione e sostituisci il simbolo \(=\) con \( <, >, \leq, \geq\). Quello che hai ottenuto è una disequazione! Ad esempio, dall'equazione \(x+1 = 2x-3 \) potresti voler dire che il primo membro è maggiore del secondo: questo si esprime con la disequazione
\[ x+1 > 2x-3 \]
L'equazione che si ottiene sostituendo il simbolo nella diseguaglianza con un \(=\) si chiama equazione associata alla disequazione considerata. In molti casi è utile risolvere l'equazione associata e passare poi alla disequazione.
Nella tabella trovi i simboli che possono comparire in una disequazione.
| Simbolo | Significato |
| \(>\) | maggiore |
| \(<\) | minore |
| \(\geq\) | maggiore o uguale |
| \(\leq\) | minore o uguale |
Per non confonderti con i simboli di maggiore e minore nella disequazione, concentrati sulla punta del segno: in una disequazione, la punta è sempre diretta verso la quantità più piccola. Ad esempio in
\[ x+1 > 2x-3 \] la prima quantità è maggiore della seconda (e il simbolo si legge "maggiore").
Se consideri invece
\[ x+1 < 2x-3 \] allora il primo membro è minore: la quantità più grande si trova a secondo membro.
Principi di equivalenza
Nella risoluzione di equazioni sono fondamentali i principi di equivalenza: grazie a questi puoi sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere entrambi i membri di un'equazione senza cambiare la soluzione. Sarebbe bello se i principi di equivalenza valessero anche con le disequazioni: proviamo a capire se è così.
Addizione e sottrazione: primo principio di equivalenza
Il primo principio di equivalenza dice che puoi sommare o sottrarre un numero a entrambi i membri di un'equazione senza modificare la soluzione. Ad esempio, se \[ x+1 = 3x-2\] puoi sommare \(-1\) a entrambi i membri e ottenere \[x=3x-3.\] Cosa succede se al posto di \(=\) hai un altro segno, ad esempio \(\leq\)? La disequazione \[ x+1 \leq 3x-2\] esprime il fatto che il numero a destra è più grande: questo continua a valere se aumenti o diminuisci entrambi i numeri della stessa quantità. Questo vale anche per gli altri segni!
Ad esempio, \(5 \geq 2\) e \(5+3 \geq 2+3\); è vero anche \(5-4 \geq 2-4\).
Primo principio di equivalenza. Sommando o sottraendo uno stesso numero a entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.
Moltiplicazione e divisione: secondo principio di equivalenza
Il secondo principio di equivalenza dice che puoi moltiplicare o dividere per uno stesso numero non nullo, senza cambiare le soluzioni dell'equazione. Prova a fare la stessa cosa con una disequazione come \(4>2\): moltiplicando per qualunque numero, ad esempio \(3\), ottieni \[ 4\cdot 3 > 2 \cdot 3\] che è vera, perché \(12 > 6\). Allo stesso modo, resta vera la disequazione che ottieni dividendo per \(3\) \[ \frac{4}{3} > \frac{2}{3}\]Ora prova a moltiplicare o dividere per \(-1\). Quello che ottieni è \[-4 > -2\] che è falsa! Il problema è che quando moltiplichi o dividi per un numero negativo inverti l'ordine dei due numeri. Per mantenere vera la diseguaglianza, devi invertire il verso: la "punta" del simbolo tra i due numeri deve essere girata dalla parte opposta, come vedi di seguito. \begin{align} 4 & > 2 \\ -4 & < -2 \end{align}
Secondo principio di equivalenza.
Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero positivo entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza.
Moltiplicando o dividendo per uno stesso numero negativo entrambi i membri di una disequazione, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza, a patto di invertire il verso della disequazione.
Come si svolgono le disequazioni
Per risolvere una disequazione puoi usare i principi di equivalenza come hai imparato a fare con le equazioni. Tieni a mente queste differenze:
La soluzione di una disequazione è l'insieme di tutti i numeri reali che rendono vera la disuguaglianza. In altre parole, non è un singolo valore specifico, ma un certo intervallo numerico!
I simboli \(<\) e \(>\) escludono dall'insieme delle soluzioni il valore specifico (o i valori) per cui i due membri sono uguali tra loro. I simboli \(\geq\) e \(\leq\) invece comprendono tra le soluzioni il valore (o i valori) per cui i due membri sono uguali.
Puoi rappresentare la soluzione di una disequazione sulla retta reale. In genere le soluzioni sono intervalli o semirette. Per indicare gli estremi di questi insiemi si usano dei cerchietti vuoti per rappresentare punti che non sono soluzioni della disequazione, e dei cerchietti pieni se i punti invece sono soluzioni.
Se moltiplichi o dividi la disequazione per un numero negativo, devi invertire il verso della disuguaglianza. In altre parole, \(<\) diventa \(>\), e viceversa, mentre \(\geq\) diventa \(\leq\).
Disequazioni di primo grado
Nelle disequazioni di primo grado o lineari l'incognita, di solito la \(x\), compare solamente al primo grado. Questo significa che non ci sono potenze di \(x\) di grado due o superiore, come \(x^2, x^3\) e simili.
Una disequazione di primo grado si può manipolare seguendo le regole appena viste, spostando le \(x\) a sinistra e i numeri a destra, fino a che non si arriva alla forma \[ x > a \] o una forma analoga con uno degli altri segni: \((x<a), (x\geq a)\) o \((x\leq a)\). A questo punto hai la soluzione: generalmente si tratta di una semiretta, formata da tutti i numeri maggiori o minori di un certo valore.
Risolvi la disequazione \[2x+2 < 16\]
Isola la \(x\) a sinistra e sposta i numeri a destra.
\[ 2x < 16-2\] Ora puoi dividere per \(2\): dato che è un numero positivo, il verso della disuguaglianza resta invariato. \begin{align} \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}}x & < \frac{14}{2} \\ x & < 7 \end{align} La disequazione ha come soluzione tutti i numeri minori di \(7\): puoi rappresentarla sulla retta reale, indicando il \(7\) con un cerchietto. L'interno del cerchietto sarà vuoto perché \(7\) non è compreso tra i valori delle soluzioni. Qualunque numero più piccolo di \(7\) fa parte di questa semiretta ed è una soluzione della disequazione.
In generale l'insieme delle soluzioni viene indicato con la lettera \(S\): ci sono vari modi di indicarlo, ma sono tutti equivalenti tra loro.
- Puoi usare la notazione insiemistica: \( S = \{ x \in \mathbb{R} : x < 7\}\).
- Puoi usare la notazione degli intervalli: \( S = (-\infty, 7) \).
- Puoi anche scrivere semplicemente \(x < 7\).
Figura 1. La disequazione \(x < 7\) individua una semiretta.
Quando il segno che compare è \( \geq\) o \(\leq\), il punto che fa da "confine" dell'insieme delle soluzioni è compreso in esso.
Risolvi la disequazione seguente. \[ -3x+2 - \frac{5+3x}{2} \leq -\left( \frac{x-1}{2}\right) 7\]
Comincia portando tutto a denominatore \(2\) e svolgendo la moltiplicazione a destra. \begin{align} \frac{2(-3x+2)}{2} - \frac{5+3x}{2} & \leq -\frac{7x-7}{2} \\ \cancel{2} \cdot \frac{-6x+4 -5-3x}{\cancel{2}} & \leq \frac{-7x+7}{\cancel{2}} \cdot \cancel{2} \\ -9x-1 & \leq -7x+7 \\ -9x+7x & \geq 7+1 \\ -2x & \leq 8 \end{align}A questo punto fai attenzione: devi dividere per \(-2\) che è un numero negativo: quindi bisogna cambiare il verso della disequazione. \begin{align} \definecolor{stsm}{RGB}{250,50,115} x & \textcolor{stsm}{\geq} \frac{8}{-2} \\ x & \geq -4\end{align}
L'insieme delle soluzioni quindi è \(S=[ 4, \infty) = \{ x \in \mathbb{R}: x \leq 4\} \) con il \(4\) compreso. Puoi disegnare la semiretta corrispondente indicando nel \(4\) un cerchietto pieno.
Figura 2. Soluzioni di \(x \geq 4\).
Esercizi su casi particolari
Nel risolvere le disequazioni è importante vedere alcuni esempi di casi particolari. Così come le equazioni, anche le disequazioni possono essere impossibili e non avere nessuna soluzione.
Risolvi la disequazione seguente. \[ \frac{2x-3}{2} > \frac{x+1}{3}-\frac{4x+2}{6}\]
Come prima cosa porta entrambi i membri al minimo comune denominatore: dato che i denominatori sono 2, 3 e 6, il denominatore comune sarà 6. \begin{align} \frac{ 3 (2x-3)}{3\cdot 2} & >\frac{2(x+1)}{2\cdot 3}-\frac{2-4x}{6} \\ \frac{6x-9}{6} & > \frac{2x+1-(2-4x)}{6} \end{align} Dato che il denominatore è lo stesso a destra e sinistra, puoi toglierlo moltiplicando per 6: siccome è un numero positivo, non devi cambiare il verso della disequazione. \begin{align} 6x-9 & > 2x+1-2+4x \\ 6x-9 & > 6x-1 \\ 6x-6x & > 9-1 \\ 0 & > 8 \end{align} I termini con la \(x\) si sono semplificati a vicenda e sono rimasti solamente due numeri. In questi casi devi fare come con le equazioni e chiederti se è vero che \(0 > 8\). Se fosse vero, la disequazione sarebbe sempre verificata e qualunque numero sarebbe soluzione. Dato che è falso, invece, la disequazione è sempre falsa: non esistono soluzioni. Questo si può indicare con \(S = \emptyset\) (l'insieme delle soluzioni è vuoto).
Nei casi in cui \(x\) si semplifica devi fare molta attenzione al segno che c'è tra i due membri: interpretarlo nel modo giusto è indispensabile per risolvere la disequazione! Un \(\geq\) o un \(>\) può cambiare completamente l'insieme delle soluzioni.
Risolvi la disequazione. \[ \frac{1}{4} \left( \frac{1-x}{3} \right) - \frac{x}{12} \geq - \frac{2x-1}{12} \]
Svolgi subito la moltiplicazione a sinistra: in questo modo tutte le frazioni risultano allo stesso denominatore. Conviene anche distribuire il segno \(-\) al numeratore della frazione a destra: poi fai le somme e moltiplica per \(12\) per eliminare il denominatore.
\begin{align} \frac{1-x}{12}- \frac{x}{12}& \geq \frac{1-2x}{12} \\ \frac{1-x-x}{12} & \geq \frac{1-2x}{12} \\ \cancel{12} \cdot \frac{1-2x}{\cancel{12}} & \geq \frac{1-2x}{\cancel{12}} \cdot \cancel{12} \\ 2x - 2x & \geq 1-1 \\ 0 & \geq 0\end{align} In questo caso l'ultima riga dice che la disequazione è valida se \(0\) è maggiore o uguale a \(0\). Siccome \(0=0\) la disequazione è sempre vera: l'insieme delle soluzioni è \(S = \mathbb{R}\).
Se invece ci fosse \(0 > 0\) la disequazione sarebbe sempre falsa: non ci sarebbe nessuna soluzione!
Tipi di disequazioni
Esattamente come succede per le equazioni, ci sono molti tipi di disequazioni diverse, a seconda delle funzioni e delle espressioni che compaiono. Alcuni tipi
disequazioni di primo grado;
disequazioni irrazionali;
disequazioni con valori assoluti;
disequazioni fratte;
disequazioni esponenziali;
disequazioni logaritmiche;
disequazioni goniometriche;
Gli articoli principali che troverai qui su StudySmarter sono sulle disequazioni di secondo grado, equazioni e disequazioni fratte, equazioni e disequazioni irrazionali, equazioni esponenziali ed equazioni logaritmiche, sistemi di equazioni.
Disequazioni - Punti chiave
- Una disequazione esprime una disuguaglianza tra due espressioni algebriche: una delle due è maggiore dell'altra.
- I segni che possono comparire in una disequazione sono \(\geq\) ("maggiore o uguale"), \( \leq\) ("minore o uguale"), \(>\)("maggiore") e \(<\) ("minore").
- Sostituendo il simbolo nella diseguaglianza con un \(=\) si ottiene l'equazione associata alla disequazione.
- Per risolvere una disequazione si possono usare i principi di equivalenza per le disequazioni. Questi principi consentono di manipolarle senza cambiare l'insieme delle soluzioni, esattamente come succede per le equazioni.
- Il primo principio di equivalenza dice che, sommando o sottraendo uno stesso numero ai due membri di una disequazione, ottieni una disequazione equivalente.
- Il secondo principio di equivalenza permette di ottenere una disequazione equivalente moltiplicando o dividendo per uno stesso numero non nullo. Bisogna fare attenzione al segno: se si moltiplica per un numero negativo, si ottiene una disequazione equivalente a quella data solamente cambiando il verso, ossia sostituendo \(<\) con \(>\) e viceversa.
- La soluzione di una disequazione è l'insieme di tutti i numeri reali che rendono vera la disuguaglianza: in genere è un intervallo o una semiretta, non un valore specifico.
- I simboli \(<\) e \(>\) escludono dall'insieme delle soluzioni il valore specifico (o i valori) per cui i due membri sono uguali tra loro. I simboli \(\geq\) e \(\leq\) invece comprendono tra le soluzioni il valore (o i valori) per cui i due membri sono uguali.
- Per risolvere una disequazione di primo grado, si spostano le \(x\) a sinistra e i numeri a destra sfruttando i principi di equivalenza. L'obiettivo è arrivare a una delle forme \(x < a, x > a, x \geq a \) o \(x \leq a\). A questo punto, l'insieme delle soluzioni è la semiretta corrispondente.
- In alcuni casi particolari, le incognite spariscono dalla disequazione e si resta con una disuguaglianza tra numeri. In questo caso bisogna fare attenzione al simbolo che c'è tra i due numeri: in alcuni casi la disequazione può essere impossibile, mentre in altri la soluzione può essere tutto l'insieme dei reali.
- Ci sono moltissimi tipi di disequazioni: di primo e secondo grado, fratte, irrazionali, logaritmiche, esponenziali, goniometriche o con valori assoluti. Qui su StudySmarter ne troverai vari esempi!
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Domande frequenti riguardo Disequazioni
Che cosa si intende per disequazione?
Una disequazione è un tipo di problema simile a un'equazione: in entrambi i casi bisogna trovare un'incognita che renda vera una certa relazione tra due quantità. Nel caso dell'equazione, le quantità considerate sono uguali: se le quantità sono diverse tra di loro, e quindi una è maggiore dell'altra, si ha una disequazione.
Come si svolgono le disequazioni?
Ogni tipo di disequazione si svolge in modo diverso. L'idea generale è di trovare i valori per cui membro destro e sinistro della disequazione sono uguali: questi valori divideranno i numeri reali in un certo numero di intervalli e semirette. Infine, con un ragionamento sui segni, si capisce quale quantità è maggiore in ognuno degli intervalli, e questo consente di capire dove la disequazione è vera e dove falsa.
Che tipi di disequazioni ci sono?
Ci sono moltissimi tipi di disequazioni diverse. Vengono classificate in base alle funzioni che compaiono nella disequazione: alcuni tipi sono
- disequazioni di primo grado;
- disequazioni di secondo grado;
- disequazioni fratte;
- disequazioni irrazionali;
- disequazioni esponenziali;
- disequazioni logaritmiche;
- disequazioni goniometriche;
ma ce ne sono altre ancora!
A cosa servono le disequazioni in pratica?
Le disequazioni hanno applicazione in molti problemi pratici: tra le altre cose, servono ad esprimere dei vincoli su alcune grandezze. Ad esempio, in molti casi pratici le grandezze devono essere positive: tempi o distanze negativi non hanno significato.
In economia quello che si vuole ottenere dai calcoli su entrate e uscite è un guadagno positivo, e anche questo si esprime con una disequazione.
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