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Trasformazione adiabatica: definizione
Vediamo immediatamente la definizione di trasformazione adiabatica.
Una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica in cui non vi è scambio di calore tra il gas e l'ambiente esterno.
Trasformazione adiabatica: lavoro
Visto che il calore scambiato nella trasformazione è nullo per definizione, possiamo scrivere il primo principio della termodinamica come
\[\Delta U = -W\,,\]
dove ricordiamo che \(U\) è l'energia interna del sistema e \(W\) il lavoro. Quindi, l'energia interna è sempre opposta in segno al lavoro effettuato nella trasformazione (questo ci sarà utile quando parleremo dell'energia, nello specifico).
Possiamo richiamare la formula della variazione di energia in una trasformazione termodinamica qualsiasi:
\[\Delta U = nc_V (T_B - T_A)\,,\]
dove, ricordiamo, \(n\) è il numero di moli del gas, \(c_V\) il calore specifico a volume costante e \(T_A\) e \(T_B\) le temperature in due punti \(A\) e \(B\) della trasformazione. Se inseriamo questo nella formula che lega lavoro e energia interna otteniamo
\[W = -nc_{V} (T_B - T_A)\,,\]
o, cambiando di segno,
\[W = nc_{V} (T_A - T_B)\,.\]
Trasformazione adiabatica: energia
Quanto abbiamo visto per il lavoro, ci permette di trarre alcune conclusioni sull'energia nelle trasformazioni adiabatiche:
- Se il gas compie un lavoro sull'ambiente esterno, ovvero se \(W > 0\), l'energia interna deve diminuire, ovvero \(\Delta U<0\). Questo ci dice che la temperatura del gas deve diminuire. Questo avviene, ad esempio, nelle espansioni adiabatiche.
- Se invece è l'ambiente a compiere un lavoro sul gas, ovvero se \(W < 0\), l'energia interna deve crescere, cioè \(\Delta U >0\). Questo comporta un aumento della temperatura del gas e avviene, ad esempio nelle compressioni adiabatiche.
Un modo semplice di ricordare queste proprietà è ricordarsi che l'energia e la temperatura del gas hanno lo stesso andamento nelle trasformazioni adiabatiche: se l'energia interna diminuisce, la temperatura diminuisce, se l'energia interna aumenta, anche la temperatura aumenta.
Trasformazione adiabatica: formule
La temperatura, la pressione e il volume nelle trasformazioni adiabatiche sono collegate da formule più complesse di quelle di trasformazioni isocore e isoterme. Anche per queste trasformazioni, però, esistono equazioni che legano le variabili di stato. Prima di passare a un approfondimento con la ricavazione di queste equazioni, le annunciamo:
\[\begin{gather*}T_A V_A^{\gamma -1} = T_B V_B^{\gamma-1}\implies TV^{\gamma-1} = \text{cost.}\,,\\[8pt]p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma \implies pV^\gamma = \text{cost.}\,,\\[8pt]T_A p_A^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} = T_B p_B^{\frac{1-\gamma}{\gamma}} \implies Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\text{cost.} \,,\end{gather*}\]
dove \(\gamma = \frac{c_p}{c_V}\) è il coefficiente di dilatazione adiabatica (e \(c_p\) e \(c_V\) i calori specifici a pressione e volume costanti rispettivamente).
In particolare, la relazione \(pV^\gamma = \text{cost.}\) ci permette di disegnare la curva di una trasformazione adiabatica nel piano di Clapeyron. Se non fosse per l'esponente \(\gamma\), le trasformazioni adiabatiche disegnerebbero sul piano di Clapeyron la stessa curva delle trasformazione isoterme: delle iperboli equilatere.
Tuttavia, la presenza dell'esponente inclina l'iperbole, come si può vedere in figura 1. In questo senso, i processi adiabatici fanno da "ponte" tra isoterme diverse.
Figura 1- Trasformazione adiabatica
Vediamo ora come si ricavano queste formule. Saranno necessari dei conti che prevedono l'uso di equazioni differenziali, cercheremo di renderle quanto più digeribili possibili!
Come per il calcolo del lavoro, dobbiamo partire dall'equazione del primo principio della termodinamica per le trasformazioni adiabatiche. Questa volta, però, la vediamo in forma differenziale e consideriamo delle trasformazioni infinitesimo e quindi reversibili.
\[\mathrm{d}U = - \mathrm{d}W \implies \mathrm{d}U + \mathrm{d}W = 0\,.\]
Per \(\mathrm{d}U\) possiamo usare l'equazione che abbiamo visto nel paragrafo sul lavoro, mentre per il lavoro \(\mathrm{d}W\), possiamo avvalerci del fatto che questo può essere calcolato come l'area di un rettangolo sul piano di Clapeyron con base \(\mathrm{d}V\) e altezza \(p\). Se inseriamo queste cose tutte assieme, otteniamo
\[nc_V \mathrm{d}T +p\mathrm{d}V =0\,.\]
Dalla legge dei gas perfetti possiamo ricavare la pressione come
\[p = \frac{nRT}{V}\,,\]
dove \(R\) è la costante dei gas perfetti e le altre quantità sono le stesse che abbiamo visto nel corso dell'articolo. Se inseriamo questa formula in quella precedente, otteniamo
\[nc_V \mathrm{d}T + \frac{nRT}{V} \mathrm{d}V = 0\,.]
Ora separiamo le variabili, ovvero spostiamo a sinista tutte le quantità relative alla temperatura e a destra quelle relative al volume:
\[-\frac{\mathrm{d}T}{T} = \frac{R}{c_V}\frac{\mathrm{d}V}{V}\,.]
Possiamo sostituire a \(R\) la sua espressione in termini dei calori specifici a volume e pressione costante, data da \(R = c_p - c_V\), da cui, otteniamo
\[\frac{c_p - c_V}{c_V} \frac{\mathrm{d}V}{V} = - \frac{\mathrm{d}T}{T}\,.\]
Quest'equazione può essere ulteriormente semplificata introducendo il coefficiente di dilatazione adiabatica \(\gamma = \frac{c_p}{c_V}\):
\[(\gamma - 1) \frac{\mathrm{d}V}{V} = - \frac{\mathrm{d}T}{T}\,.\]
Se ora integriamo a destra e sinistra dell'uguale nelle rispettive variabili, otteniamo
\[(\gamma - 1) \ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right) = - \ln \left( \frac{T_B}{T_A} \right)\,.\]
Portiamo \(\gamma-1\) a destra e il segno \(-\) a sinistra come esponenti del logaritmo:
\[\ln \left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma - 1} = \ln \left( \frac{T_B}{T_A} \right)^{-1}\,.\]
Infine, possiamo eliminare il logaritmo
\[\left( \frac{V_B}{V_A}\right)^{\gamma - 1} =\left( \frac{T_B}{T_A} \right)^{-1} \,,\]
oppure, riordinando i termini,
\[\boxed{T_A V_A^{\gamma-1} = T_B V_B^{\gamma-1}}\]
Per ottenere la relazione con pressione e volume, basta inserire dentro questa equazione la formula della temperatura che si ottiene dall'equazione dei gas perfetti:
\[T=\frac{pV}{nR}\,.\]
Da cui:
\[\frac{p_A V_A}{nR} V_A^{\gamma-1} = \frac{p_B V_B}{nR} V_A^{\gamma-1}\,\]
semplificando, otteniamo
\[\boxed{p_A V_A^\gamma = p_B V_B^\gamma}\]
Per ottenere l'equazione che contiene temperatura e pressione, ci basta fare lo stesso gioco con il volume ottenuto dalla legge dei gas perfetti:
\[V = \frac{nRT}{p}\,.]
Sostituendolo nell'equazione precedente, otteniamo
\[p_A \left( \frac{nRT_A}{p_A}\right)^\gamma = p_B \left(\frac{nRT_B}{p_B}\right)^\gamma\,.\]
Semplificando, otteniamo l'ultima relazione:
\[T_A^\gamma p_A^{\gamma-1} = T_B^\gamma p_B^{\gamma-1}\,,\]
oppure, riordinando,
\[\boxed{T_Ap_A^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}= T_B p_B^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}}\]
Trasformazione adiabatica - Punti chiave
- Una trasformazione adiabatica è una trasformazione termodinamica in cui non vi è scambio di calore tra il gas e l'ambiente esterno.
- Il lavoro, nelle trasformazioni adiabatiche, è dato dall'equazione \(W = nc_{V} (T_A - T_B) \), dove \(n\) è la quantità di moli di gas, \(c_V\) il suo calore specifico a volume costante e \(T_A\) e \(T_B\) la temperatura iniziale e finale della trasformazione.
- Se il gas compie un lavoro sull'ambiente esterno, ovvero se \(W > 0\), l'energia interna deve diminuire, ovvero \(\Delta U<0\). Questo ci dice che la temperatura del gas deve diminuire. Questo avviene, ad esempio, nelle espansioni adiabatiche.
- Se invece è l'ambiente a compiere un lavoro sul gas, ovvero se \(W < 0\), l'energia interna deve crescere, cioè \(\Delta U >0\). Questo comporta un aumento della temperatura del gas e avviene, ad esempio nelle compressioni adiabatiche.
- Le leggi che legano le variabili di stato nelle trasformazioni adiabatiche sono:
- \(TV^{\gamma-1} = \text{cost.} \)
- \(pV^\gamma = \text{cost.} \)
- \(Tp^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}=\text{cost.} \)
- Sul piano di Clapeyron le trasformazioni adiabatiche appaiono come iperboli inlcinate.
References
- Fig. 1 - Adiabatic.svg (https://en.wikipedia.org/wiki/File:Adiabatic.svg) by User:Stannered (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Stannered) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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Domande frequenti riguardo Trasformazione adiabatica
Come varia la temperatura in una trasformazione adiabatica?
In una trasformazione adiabatica, la temperatura varia come l'energia interna del gas interessato. In particolare:
- Se il gas compie un lavoro sull'ambiente esterno, ovvero se W > 0, l'energia interna deve diminuire, ovvero ΔU<0. Questo ci dice che la temperatura del gas deve diminuire. Questo avviene, ad esempio, nelle espansioni adiabatiche.
- Se invece è l'ambiente a compiere un lavoro sul gas, ovvero se W < 0, l'energia interna deve crescere, cioè ΔU >0. Questo comporta un aumento della temperatura del gas e avviene, ad esempio nelle compressioni adiabatiche.
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