Dilatazione temporale

Dilatazione temporale: spiegazione

La dilatazione temporale è il fenomeno secondo cui il tempo misurato varia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore. Nello specifico, la durata di un evento è maggiore se misurata in un sistema di riferimento in moto rispetto al sistema di riferimento solidale con l'evento.

Consideriamo un osservatore che si muove su un'astronave a velocità prossime a quelle della luce (sistema \(S'\)). Questo osservatore misura l'intervallo di tempo \(\Delta t_0\) (chiamato "tempo proprio") tra due eventi che accadono sull'astronave. Un osservatore esterno che si trova nel sistema di riferimento \(S\) in moto rispetto a \(S'\) misurerà un intervallo di tempo maggiore di \( \Delta t_0\).

Ma perché avviene questo fenomeno? Vediamolo insieme!

Fig. 1 - Il tempo scorre più lentamente nella Stazione Spaziale Internazionale, con un ritardo di circa 0,01 secondi per ogni 12 mesi terrestri trascorsi.

Dilatazione temporale: formula

Consideriamo un passeggero di un treno in moto a velocità \(v\). Il passeggero cronometra un impulso luminoso riflesso tra due specchi orizzontali posti nella carrozza uno sopra l'altro a una distanza \(L\), come illustrato nella Figura 2. Un secondo spettatore osserva il treno da un binario.

Fig. 2 - Diagramma che mostra il percorso dell'impulso luminoso (a) visto dal treno e (b) visto dal binario.

Consideriamo i percorsi seguiti dalla luce visti da ciascun osservatore. L'osservatore all'interno del treno vede la luce attraversare una distanza totale di \(2L\). L'osservatore sulla piattaforma vede invece la luce percorrere una distanza totale di \(2s\), come mostrato nella Figura 2.

Sappiamo che la luce viaggia a una velocità \( c\) di circa \(3 \times 10^8 \, \mathrm{ m}/\mathrm{s}\) rispetto a qualsiasi osservatore. Si può quindi calcolare il tempo dividendo la distanza percorsa per la velocità \(c\). Il tempo misurato dall'osservatore all'interno del treno è pertanto

\[\Delta t_0 = \frac{2L}{c}\]mentre il tempo osservata dall'osservatore sulla piattaforma sarà

\[\Delta t = \frac{2s}{c}\,.\]

Chiamiamo \(d\) la distanza \(\frac{vt}{2} \) mostrata in Figura 2. Per trovare la relazione tra \(\Delta t_0\) e \(\Delta t\) è necessario considerare i triangoli formati da \(L\), \(s\) e \(d\). Applicando il teorema di Pitagora si ha:

\[s = \sqrt{L^2 + d^2}\,.\]

Sostituiamo quindi \(s\) nell'espressione per \( \Delta t\):

\[\Delta t = \frac{2s}{c}= \frac{2 \sqrt{L^2 + d^2}}{c}\]

\[ ( \Delta t)^2 = \frac{4(L^2 + \frac{v^2( \Delta t)^2}{4})}{c^2} = \frac{4L^2}{c^2} + \frac{v^2}{c^2} (\Delta t)^2\,.\]

Poiché \(\frac{4L^2}{c^2} = \Delta t_0^2\) possiamo scrivere

\[(\Delta t)^2 = ( \Delta t_0^2) + \frac{v^2}{c^2} (\Delta t)^2\]

e, raccogliendo per \(\Delta t\), otteniamo:

\[ (\Delta t)^2 (1 - \frac{v^2}{c^2}) = (\Delta t_0)^2 \]

\[ (\Delta t)^2 = \frac{(\Delta t_0)^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}\,.\]

Ora, se prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati, otterremo una semplice relazione tra i tempi trascorsi.

\[ \Delta t = \frac{\Delta t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0\,,\]

dove

\[\gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}} }\]

è detto fattore di Lorentz. Poiché \(\gamma >1\), si ha \(\Delta t> \Delta t_0\).

Dilatazione temporale: esempi

La dilatazione del tempo può sembrare che non sia osservabile nella vita reale, poiché si manifesta a velocità elevate, ma nella tecnologia odierna gli esseri umani interagiscono con lo spazio più che mai.

Un noto esempio è il sistema GPS. Poiché i segnali GPS viaggiano a velocità molto elevate (circa \(14 \:000 \: km\) all'ora), quando si svolgono i calcoli è necessario tenere conto della dilatazione temporale.

Fig. 2 - Il GPS è un noto esempio dove si manifesta il fenomeno della dilatazione temporale.

Un altro esempio di dilatazione temporale è l'esperimento Frisch-Smith. Questo esperimento, condotto nel 1963, consisteva nel rilevare muoni nell'atmosfera emessi dal Sole. La velocità media dei muoni provenienti dal Sole è molto elevata e vicina alla velocità della luce.

Nell'esperimento furono rilevati 563 muoni all'ora a un'altitudine di \(1917 \, \mathrm{m}\). Un'altra misura fu effettuata a livello del mare. Il tempo percorso dai muoni per andare da 1917 \(m\) a 0 \(m\) sarebbe stato di 6,4 \(\mu s\). Poiché la vita media di un muone è di 2,2 \( \mu s\), soltanto 27 muoni circa all'ora avrebbero dovuto raggiungere il punto finale in assenza di dilatazione temporale. Tuttavia, circa 412 muoni all'ora raggiunsero il livello del mare.

Questo avviene perché il tempo proprio del muone è più piccolo del tempo misurato da un osservatore sulla Terra, con un fattore di dilatazione temporale di circa \(8,8\).

Fig. 3 - Risultati dell'esperimento di Frisch-Smith.