Relatività ristretta

Secondo postulato della relatività speciale

È importante notare che le leggi dell'elettromagnetismo ci dicono che nel vuoto la luce viaggia a circa \(3\times 10^8 \, \mathrm{m}/\mathrm{s}\). Tuttavia, non ci dicono se un osservatore che viaggia a una certa velocità osserverà la luce propagarsi a una velocità diversa da \(c\).

Per capire il secondo postulato, consideriamo un passeggero di un autobus in moto a una certa velocità costante che lancia in avanti una palla. Per un osservatore fermo sul marciapiede, la velocità della palla sarà data dalla somma tra la velocità dell'autobus e la velocità con cui la palla è stata lanciata dal passeggero.

Ora supponiamo che il passeggero non lanci una palla, ma che punti una torcia davanti a sé. Per il passeggero, la luce si muove con velocità \(c\) ma per l'osservatore a terra? Secondo la composizione delle velocità galileiana, l'osservatore fermo sul marciapiede dovrebbe vedere la luce propagarsi con velocità data dalla somma tra c e la velocità dell'autobus. Questo, tuttavia, non avviene nel caso della luce!

Einstein affermò che la luce nel vuoto deve viaggiare alla velocità \(c\) rispetto a qualsiasi osservatore. In altre parole, la velocità della luce \(c\) è una costante ed è indipendente dal moto relativo della sorgente.

Di conseguenza, le trasformazioni di Galileo dovevano essere riviste.

Le trasformazioni di Lorentz

Le trasformazioni di Lorentz estendono le trasformazioni di Galileo e si riducono a esse nel limite classico \(v \ll c\).

Consideriamo due sistemi di riferimento \(S\) di coordinate \((t, x, y, z)\) e \(S'\) di coordinate \((t', x', y', z')\) con assi \(x\) e \(x' \) coincidenti.

Se S' si muove di moto rettilineo uniforme con velocità v lungo la direzione x, le trasformazioni di Lorentz sono le seguenti:

\[\begin{cases}t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\\x' =\frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \\y' = y \\ z' =z\end{cases}\]

A partire da queste equazioni si può facilmente mostrare come la velocità della luce rimanga la stessa e come le leggi della fisica siano invarianti nei due sistemi di riferimento inerziali, come stabilito dai due postulati.

Nota bene: a differenza delle trasformazioni di Galileo, nelle trasformazioni di Lorentz la coordinata \(t\) non è più assoluta! L'evento che l'osservatore solidale a \(S\) osserva al tempo \(t\), è visto dall'osservatore solidale a \(S' \) al tempo \(t'\) . È importante notare che \(t'\) che dipende anche dalla coordinata \(x\), ovvero dalla posizione in \(S\).

Per velocità molto inferiori a quella della luce ( \(v \ll c\)), il termine \(v/c\) può essere trascurato (\(v/c \ll 1\)) e le equazioni di Lorentz si riducono alle trafsormazioni di Galileo:

\[\begin{cases}t' = t \\x' = x-vt \\y' = y \\z' =z\end{cases}\]

Relatività speciale: Simultaneità e dilatazione temporale

Possono gli intervalli di tempo essere diversi se misurati da diversi osservatori? Intuitivamente, pensiamo allo scorrere del tempo come a un processo uguale per tutti. Tuttavia, vedremo che la misura del tempo è determinata dal movimento relativo dell'osservatore rispetto all'evento da misurare.

Fig. 2 - Il tempo trascorso in una gara è lo stesso per tutti gli osservatori, ma è influenzato dalla velocità relativa dell'osservatore.

Simultaneità

Quando si parla di simultaneità, pensiamo immediatamente alla relazione tra due eventi che si suppone avvengano nello stesso momento. Tuttavia, poiché abbiamo visto che il tempo non è più assoluto, se due eventi avvengono nello stesso istante in un sistema di riferimento, non è detto che lo avvengano nello stesso istante in un altro sistema di riferimento inerziale.

Si veda il seguente esempio:

Uno spettacolo pirotecnico a Parigi e un altro a New York sembrano accadere nello stesso momento. Tuttavia, questi due eventi saranno osservati in momenti diversi da un osservatore sulla Terra e da un altro che si sposta da New York a Parigi a una velocità prossima a quella della luce. Infatti, il secondo osservatore vedrà i fuochi d'artificio di Parigi prima di quelli di New York, mentre l'osservatore sulla terra vedrà i due eventi accadere contemporaneamente.

Dilatazione dei tempi

La dilatazione temporale è un fenomeno secondo il quale il tempo misurato cambia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.

Supponiamo di trovarci su un'astronave a velocità prossime a quelle della luce (sistema \(S'\) ) e di misurare l'intervallo di tempo \(\Delta t_0\) tra due eventi che accadono sull'astronave (gli eventi accadono nello stesso luogo \(x'_1 = x'_2\)). Applicando le trasformazioni di Lorentz, un osservatore esterno che si trova nel sistema \(S\) misurerà un tempo

\[ \Delta t = \frac {\Delta t_0}{\sqrt{1- \frac{v^2}{c^2}}} = \gamma \Delta t_0\]

\[ \gamma = \frac{1} {\sqrt{1- \frac {v^2}{c^2}} }\]

Poiché \( v < c\), si ha \( \gamma >1 \) e, quindi, \(\Delta t > \Delta t_0\). In altre parole, l'intervallo di tempo misurato dall'osservatore in \(S\) è maggiore dell'intervallo di tempo che misura l'osservatore sull'astronave, ovvero l'osservatore solidale con il sistema di riferimento in moto \(S'\).

Relatività speciale: Contrazione delle lunghezze

La contrazione delle lunghezze è un fenomeno secondo il quale la lunghezza misurata varia a seconda del sistema di riferimento dell'osservatore.

Supponiamo di voler misurare la lunghezza di un'asta solidale con il sistema di riferimento in moto \(S'\). L'asta è quindi in quiete rispetto a \(S'\) e la sua lunghezza propria \(L_0\) sarà data dalla distanza tra le posizioni delle sue estremità misurate in \(S': x_2' -x_1'\).

Applicando le trasformazioni di Lorentz, la lunghezza misurata dall'osservatore in S sarà data da:

\[ L = \frac{L_0}{\gamma}\]

Poiché \(\gamma \gt 1\) , si ha \( L \lt L_0\). Quindi, un osservatore esterno vedrà l'asta in movimento più corta di quanto sarebbe se la misurasse in un sistema di riferimento solidale al moto dell'asta.

Fig. 3 - Gli osservatori possono misurare distanze diverse; a velocità relativistiche, sono davvero diverse.

Che cos'è l'energia cinetica relativistica?

La legge della conservazione dell'energia afferma che l'energia ha molte forme e ogni forma può essere convertita in un'altra senza essere distrutta; l'energia in un sistema rimane costante.

L'energia si conserva ancora in modo relativistico se la sua definizione viene modificata per includere la possibilità che la massa si converta in energia. Einstein ha dimostrato che la legge di conservazione dell'energia può essere applicata in modo relativistico. Questo ha portato all'elaborazione dei concetti di energia totale ed energia di riposo.

Si può dimostrare che la formula per l'energia cinetica relativistica è la seguente:

\[E = m_0 c^2 (\gamma -1) = \gamma m_0 c^2 - m_0 c^2\,,\]

dove il primo termine, \(E = \gamma m_0 c^2\), è detto energia totale e il secondo termine, \(E = m_0 c^2\), è detto energia a riposo. In altre parole, l'energia totale è data dalla somma dell'energia cinetica relativistica e dell'energia a riposo.

Da questa formula notiamo subito che mentre il primo termine dipende anche dalla velocità (tramite \(\gamma\) ), il secondo dipende solo dalla massa a riposo e dalla velocità della luce. Questo significa che ogni corpo possiede un'energia a riposo che può assumere valori molto alti, visto che è moltiplicata per la velocità della luce al quadrato!

Relatività ristretta e generale

Il termine "ristretta" deriva dal fatto che questa teoria è valida nei sistemi di riferimento inerziali, ovvero quei sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. Successivamente Einstein formulò la teoria della relatività generale, valida anche per i sistemi non inerziali.