Quantità di moto

Impulso e quantità di moto

Supponiamo di essere alla guida di un'auto che ha una certa quantità di moto. La quantità di moto dipende dalla massa dell'auto e dalla velocità con cui si muove. Supponiamo di voler fermare l'auto. Come si fa?

Si deve premere sui freni, che porteranno rapidamente l'auto a fermarsi grazie alla grande forza di decelerazione applicata. La forza di decelerazione necessaria per fermare l'auto dipende dalla quantità di moto dell'auto.

Un altro modo per portare l'auto a fermarsi è quello di togliere il piede dal pedale e lasciare che entri in gioco l'attrito della strada. In questo scenario, viene applicata una piccola quantità di forza per un lungo periodo di tempo.

In ogni caso, l'auto in movimento si fermerà, ma qual è la forza necessaria per portare a riposo un corpo in movimento? Introduciamo il concetto di impulso.

\[\Delta p = F \Delta t\]

Le unità di misura dell'impulso sono i Newton secondi (\(Ns\)). Di conseguenza, l'area sotto il grafico forza-tempo darà l'impulso o la variazione della quantità di moto.

Teorema dell'impulso

Se vogliamo scriverlo in formule:

\[F \Delta t = \Delta p\]

Se riscriviamo la variazione di quantità di moto, otteniamo:

\[F \Delta t = mv_f - mv_i\]

dove \(mv_f\) è la quantità di moto finale e \(mv_i\) quella iniziale.

La velocità di variazione della quantità di moto può essere espressa come:

\[F=\frac{m(v_f - v_i)}{\Delta t}\]

Quantità di moto: conservazione

Come in chimica esiste la legge di conservazione della materia, così in fisica esiste la legge di conservazione dell'energia. Possiamo estendere questi concetti per formare un'altra legge, nota come legge di conservazione della quantità di moto.

Supponiamo di avere due oggetti di massa \(m_1\) e \(m_2\) che si dirigono l'uno verso l'altro con velocità \(v_1\) e \(v_2\).

Fig. 1 - Due oggetti che stanno per scontrasi.

I due oggetti si scontrano dopo un certo tempo ed esercitano reciprocamente le forze \(F_1\) e \(F_2\).

Fig. 2 - Quando due oggetti collidono esercitano una forza l'uno sull'altro che li fa fermare.

Dopo la collisione, i due oggetti si muoveranno in direzione opposta con velocità \(v_1\) e \(v_2\) rispettivamente.

Fig. 3 - dopo la collisione, i due oggetti si muovono in direzioni diverse a diverse velocità

Dato che la legge di conservazione della quantità di moto stabilisce che la quantità di moto degli oggetti in collisione si conserva, possiamo ricavare la seguente equazione:

\[\vec{F_1} = -\vec{F_2}\]

\[\frac{m_1(\vec{v}_{1,f} -\vec{v}_{1,i})}{t_1} = -\frac{m_2(\vec{v}_{2,f}-\vec{v}_{2,i})}{t_2}\]

Poiché \(t_1\) e \(t_2\) sono uguali, possiamo ridurre l'equazione a:

\[m_1 \vec{v}_{1,f} - m_1 \vec{v}_{1,i} = - m_2 \vec{v}_{2,f} + m_2 \vec{v}_{2,f}\]

Riarrangiando l'equazione:

\[m_1 \vec{v}_{1,i} + m_2 \vec{v}_{2,i} = m_1 \vec{v}_{1,f} + m_2 \vec{v}_{2,f}\]

Questa equazione afferma la conservazione della quantità di moto (cioè la quantità di moto totale prima dell'urto è uguale alla quantità di moto totale dopo l'urto). Dopo l'impatto, le velocità cambiano ma le masse rimangono costanti.

Urti

Non tutte le collisioni comportano l'allontanamento degli oggetti separatamente. Ci sono scenari, ad esempio, in cui gli oggetti si scontrano e talvolta si combinano, formando nuovi oggetti. Si deve ricordare che la quantità di moto lineare si conserva in qualsiasi tipo di collisione.

Urti elastici

Negli urti elastici, gli oggetti che entrano in contatto rimangono separati. In altre parole, gli oggetti non si combinano per formare un nuovo oggetto. L'energia cinetica e la quantità di moto totali si conservano in questo tipo di collisione, per cui gli oggetti rimbalzano l'uno sull'altro senza perdere energia.

Fig. 3 - Esempio di urto

Urti perfettamente anelastici

In questi tipi di collisioni, gli oggetti si scontrano e, dopo l'urto, si muovono insieme come un'unica massa. Quando esaminiamo le collisioni perfettamente anelastiche, possiamo trattare i due oggetti separati come un unico oggetto dopo la collisione. Quindi, in termini di quantità di moto:

\[\vec{p}_1 + \vec{p}_2 = \vec{p}_{TOT}\]

\[m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{v}_f\]

dove \(\vec{v}_f\) è la velocità finale assunta dal singolo oggetto che risulta dalla collisione

Si noti che \(\vec{v}_f\) dipenderà dalle direzioni delle due velocità iniziali e dai loro moduli.

Urti reali

Nella vita reale, nessuna collisione è elastica o perfettamente anelastica, ma si trova in una via di mezzo, che possiamo semplicemente etichettare come collisioni anelastiche, perché implicano la perdita di una certa energia come risultato dell'urto.