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Anche se non steste studiando la fisica, in un modo o nell'altro avreste sentito parlare dei (famosi) principi della dinamica! Ma dato che state imparando la fisica, dobbiamo approfondire questi principi (detti anche "leggi di Newton") in modo che possiate capire il significato di ciascuno di essi e come vengono rappresentati matematicamente.
Fig. 1 - Ritratto di Sir Isaac Newton.
I tre principi della dinamica
Primo principio della dinamica
La formulazione ufficiale del primo principio della dinamica è la seguente:
Un corpo continua nel suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme a meno che non sia soggetto a una forza.
La spiegazione è semplice: un oggetto tende a rimanere nel suo stato se nessuna forza esterna agisce su di esso. Se il corpo è a riposo, rimarrà in quiete. Se si muove a una certa velocità e in una certa direzione, continuerà a farlo finché una forza esterna non agirà su di esso.
Su un qualsiasi oggetto appoggiato su un tavolo, sul pavimento, ecc, non agisce alcuna forza netta, poiché oltre alla forza gravitazionale diretta verso il basso, sull'oggetto agisce anche la forza normale esercitata dalla superficie orizzontale. Di conseguenza, l'oggetto tende a rimanere a riposo.
Se lanciamo una biglia in modo che rotoli sul pavimento, a un certo punto smetterà di rotolare. Tuttavia, se non agisse alcuna forza, la biglia continuerebbe a rotolare (per sempre!) alla velocità con cui l'abbiamo lanciata. Nelle situazioni reali, però, c'è la forza di attrito, che genera un'accelerazione negativa (decelerazione) la quale alla fine ferma la biglia.
Nota bene: poiché la forza normale e la forza gravitazionale si annullano a vicenda, non hanno alcun ruolo quando si considera il movimento su superfici piane orizzontali.
Secondo principio della dinamica
Il secondo principio o seconda legge di Newton fornisce una descrizione completa dell'evoluzione di un sistema che, tuttavia, non include effetti quantistici o relativistici. La formulazione ufficiale della seconda legge del moto di Newton è:
Un corpo su cui agisce una forza si muove in modo tale che la variazione della quantità di moto nel tempo sia uguale alla forza.
Tuttavia, forse vi è più familiare questo concetto:
La forza totale che agisce su un corpo è uguale alla sua massa per l'accelerazione che la forza genera su di esso.
Queste formulazioni sono equivalenti, anche se la prima è quella più rigorosa. Ecco l'espressione matematica della seconda legge di Newton:
\[\vec F = \frac{d \vec p}{dt}= \frac{d}{dt} (m \vec v)\]
dove \(F\) è la forza risultante agente sul corpo, \(m\) è la massa del corpo, \(p\) è la quantità di moto (la massa moltiplicata per la velocità) e \(\frac{d}{dt}\) indica la derivata rispetto al tempo.
Considerando la massa costante, la derivata temporale della quantità di moto (cioè il suo tasso di variazione) è uguale alla massa moltiplicata per la derivata della velocità, ovvero, l'accelerazione. Quindi, se la massa rimane costante, l'espressione precedente sarà equivalente a:
\[\vec F = m \vec a= m \frac{d \vec v}{dt} \,.\]
Nota bene: la formulazione "la forza totale è uguale alla massa per l'accelerazione" è vera solo se la massa è costante!
L'essenza della seconda legge del moto di Newton è che, dopo aver considerato tutte le forze e la loro direzione, l'accelerazione segue la stessa direzione della forza totale agente sul corpo e il fattore di proporzionalità è la massa dell'oggetto. Questa massa è chiamata massa inerziale.
Fig. 2 - Il biliardo è un semplice esempio dei principi della dinamica. La forza impressa alla palla deve essere pari alla massa della palla per la sua accelerazione.
Supponiamo di avere quattro palline e una superficie perfettamente orizzontale. Le quattro palline hanno una massa di \(5 \, \mathrm{kg}\), \(10 \, \mathrm{ kg}\), \(15 \, \mathrm{kg}\) e \(15 \mathrm {kg}\). Immaginiamo di esercitare una forza di \(150 \, \mathrm N\) per 2 secondi per la prima, la seconda e la quarta palla e per 4 secondi per la terza. Applicando la seconda legge del moto di Newton, otteniamo i seguenti dati:
Massa [\(\mathrm{kg}\)] \(m\) | Tempo [\(\mathrm s\)] \(t\) | Accelerazione [\(\mathrm m/ \mathrm s^2\)] \(a =F/m\) | Velocità [\( \mathrm m/ \mathrm s\)] \(v = a t \) | Quantità di moto [\( \mathrm{kg} \, \mathrm{m}/\mathrm s\)] \(p =m v \) | |
Palla 1 | 5 | 2 | 150/5=30 | 30⋅2=60 | 5⋅60=300 |
Palla 2 | 10 | 2 | 150/10=15 | 15⋅2=30 | 10⋅30=300 |
Palla 3 | 15 | 4 | 150/15=10 | 10⋅4=40 | 15⋅40=600 |
| Palla 4 | 15 | 2 | 150/15=10 | 10·2=20 | 15·20=300 |
- Come possiamo vedere nel caso delle palline 1 e 2, se il tempo è uguale, la velocità dei corpi più leggeri è maggiore.
- Come si può notare nel caso delle palline 3 e 4, se la forza viene applicata più a lungo, la velocità finale sarà più elevata.
- Confrontando la quantità di moto finale delle palline, si nota che le palline 1, 2 e 4 hanno la stessa quantità di moto perché la stessa forza è stata applicata per la stessa quantità di tempo. Per la palla 3, la quantità di moto è doppia perché la stessa forza è stata applicata per il doppio del tempo.
Terzo principio della dinamica
Il terzo principio della dinamica, detto anche "principio di azione e reazione", afferma che
se il corpo A esercita una forza sul corpo B, allora il corpo B esercita sul corpo A una forza uguale in intensità e opposta in verso.
Questa formulazione della terza legge di Newton è piuttosto semplice e il modo migliore per comprenderla è attraverso alcuni esempi. Tuttavia, è importante tenere in considerazione anche la quantità di moto. In base alla seconda legge del moto di Newton, sappiamo che una forza è equivalente alla variazione della quantità di moto di un corpo. Se, secondo la terza legge del moto di Newton, le forze reciproche sono di uguale entità e verso opposto, lo stesso vale per la quantità di moto. Questo è ciò che conosciamo come principio di conservazione della quantità di moto.
Immagina di essere seduta su uno skateboard su un pavimento perfettamente orizzontale e di avere in mano una palla da basket. Se lanci la palla da basket in avanti, sarai spinta all'indietro. Questo accade perché stai esercitando una forza sulla palla da basket. Quindi, secondo la terza legge del moto di Newton, la palla da basket esercita la stessa forza su di te nella direzione opposta. E poiché la forza è uguale alla massa per l'accelerazione (\(F=m a\)), l'accelerazione della palla da basket è maggiore della tua perché la tua massa è maggiore.
I razzi sono esempi perfetti della terza legge di Newton sul moto: espellono particelle di gas a causa della combustione e la somma delle loro quantità di moto si traduce in quantità di moto per il razzo. In altre parole, usano la fuoriuscita di gas per ottenere la spinta.
Principi della dinamica: esercizi svolti
Diagrammi di corpo libero
Un diagramma di corpo libero è uno schizzo dell'oggetto in questione e delle forze che agiscono su di esso. L'oggetto o il "corpo" viene solitamente rappresentato come una scatola o un punto. Le forze sono rappresentate come frecce sottili che puntano lontano dal centro della scatola o del punto. L'enfasi è sulle forze, quindi devono essere disegnate accuratamente e in scala. È importante etichettare ogni freccia per indicare l'entità della forza che rappresenta. Si può anche indicare il tipo di forza coinvolta.
La Figura 3 mostra un esempio elementare di diagramma di corpo libero.
Fig. 3 - Diagramma a corpo libero di un blocco appoggiato su un piano inclinato ruvido, con indicati il peso (W), la reazione normale (N) e l'attrito (F).
- I diagrammi di corpo libero sono utili per comprendere il problema e visualizzarlo.
Due persone spingono un'auto applicando una forza di \(275\, \mathrm N\) e \(395 \, \mathrm N\) verso destra. L'attrito oppone una forza di \(560 \, \mathrm N\) a sinistra. Se la massa dell'auto è di \(1850 \, \mathrm{ kg}\), trova la sua accelerazione.
Fig. 4 - Diagramma di corpo libero.
Indica l'auto con un punto e posizionala nell'origine del sistema di coordinate (x,y), come mostrato in Figura 4. Indica quindi le forze che agiscono sull'oggetto con frecce che tengono conto della rispettiva direzione e intensità (maggiore è l'intensità e più lunga sarà la freccia).
Innanzitutto, puoi trovare la forza totale che agisce sul corpo. Potrai poi utilizzare questo valore per trovare l'accelerazione:
\[ F_{TOT}= 275 + 395 -560 = 110 \, \mathrm N \]
Nota bene: abbiamo posto \(-560\) perché la domanda indica chiaramente che si tratta di una forza contraria. Questo è anche il motivo per cui è mostrato in direzione opposta al verso dell'asse delle ascisse sul nostro diagramma.
Quindi, poiché \(F_{TOT} = m a\), possiamo trovare l'accelerazione:
\[ a= \frac{F_{TOT}}{m} = \frac {110 \space N}{1850 \space \mathrm{kg}}= 0,059 \, \mathrm m \, \mathrm s^{-2}\]
Se una particella di massa \(2 \, \mathrm{kg}\) viene rilasciata, da ferma, su un piano liscio inclinato di 20° rispetto all'orizzontale, quale sarà l'accelerazione del blocco?
Quando il testo ci dice che il piano inclinato è liscio, ci suggerisce di trattare il problema in assenza di attrito.
Disegniamo il diagramma di corpo per visualizzare le forze in gioco. Prendiamo l'asse x parallelo al piano inclinato e l'asse y ortogonale a esso come mostrato in Figura 5:
Fig. 5 - Diagramma di corpo libero nel caso di un piano inclinato.
Come puoi notare, l'unica forza significativa che agisce sulla particella è la gravità.
Inoltre, c'è un angolo di 20° tra la forza peso e l'asse perpendicolare al piano inclinato. Questo angolo è di 20° poiché coincide con la pendenza del piano inclinato: se il piano ha una pendenza di 20°, anche l'angolo spostato sarà di 20°.
Poiché stiamo cercando l'accelerazione, ci concentreremo sulle forze parallele al piano:
\[ F_{//} = ma\]
Dobbiamo quindi scomporre la forza nelle componenti verticali e orizzontali usando la trigonometria:
\[\sin(\theta)= \frac{cateto \space opposto}{ipotenusa}\]
\[cateto \space opposto = ipotenusa \cdot \sin(\theta)\]
La componente orizzontale della forza peso è, quindi, \(mg \sin(\theta)\).
Si ha, quindi:
\[ mg \sin(\theta) = m a \]
Dividendo entrambi i membri per \(m\) e inserendo i dati si ottiene:
\[a = g \sin(\theta) = 9{,}81 \, \mathrm m/\mathrm s^2 \sin (20°) = 3{,}4 \, \mathrm m/\mathrm s^2 \,. \]
Principi della dinamica - Punti chiave
- I tre principi della dinamica formulati da Newton rimangono le chiavi di volta fondamentali della meccanica classica.
- Il primo principio della dinamica afferma che un corpo tende a rimanere nel suo stato di moto o di quiete a meno che non sia soggetto a una forza esterna.
- La seconda legge del moto di Newton afferma che la forza netta che agisce su un corpo è uguale alla variazione della sua quantità di moto. Ciò significa che la forza netta che agisce su un corpo è uguale alla sua massa per la sua accelerazione quando la massa è costante.
- La terza legge del moto di Newton afferma che se un sistema esercita una forza su un altro sistema, il secondo esercita una forza di entità uguale e direzione opposta a quella del primo sistema.
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Domande frequenti riguardo Principi della dinamica
Chi ha enunciato i principi della dinamica?
I principi della dinamica furono enunciati da Sir Isaac Newton nel 1687 nell'opera Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.
Che cosa afferma il primo principio della dinamica?
Il primo principio della dinamica afferma che un corpo continua nel suo stato di riposo o di moto rettilineo uniforme a meno che non sia soggetto a una forza.
Che cosa afferma il secondo principio della dinamica?
Nella sua formulazione più comune, il secondo principio della dinamica afferma che la forza totale che agisce su un corpo è uguale alla sua massa per l'accelerazione che la forza genera su di esso.
Tuttavia, la formulazione più rigorosa è la seguente: un corpo su cui agisce una forza si muove in modo tale che la variazione della quantità di moto nel tempo sia uguale alla forza.
Che cosa afferma il terzo principio della dinamica?
ll terzo principio della dinamica, noto anche come "principio di azione e reazione", afferma che se il corpo A esercita una forza sul corpo B, allora il corpo B esercita sul corpo A una forza uguale in intensità e opposta in verso.
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