Pendolo semplice

Moto del pendolo semplice

Per molti argomenti diversi, è spesso utile identificare una versione semplificata di una forma di moto più complessa, sia per comprendere il sistema che per risolvere i problemi. Quindi, come possiamo analizzare il moto di un pendolo semplice? Sarebbe difficile basarsi solo su ciò che sappiamo dalla cinematica. Tuttavia, se riusciamo a dimostrare che i pendoli semplici presentano un moto armonico semplice, possiamo applicare gli stessi strumenti che abbiamo imparato dal moto armonico semplice.

Cominciamo a considerare il caso in cui un pendolo semplice presenta un moto armonico semplice. Ciò significa che la forza \( F_r \) di per riportarlo in una posizione di riposo deve essere proporzionale allo spostamento. Matematicamente, possiamo scrivere questa relazione come:

\[ F_r \propto d. \]

Un pendolo semplice presenta un moto rotatorio. Nel nostro caso, ciò significa che lo spostamento è uguale all'angolo, o \( \theta \), moltiplicato per il raggio. Per il nostro pendolo semplice, il raggio è semplicemente la lunghezza \( L \) del filo:

\[ F_r \propto L \theta . \]

Tuttavia, poiché la lunghezza della corda è costante, siamo interessati solo alla dipendenza da theta del nostro pendolo. Pertanto, possiamo eliminare il termine di lunghezza dalla proporzionalità, poiché siamo solo interessati a cosa è proporzionale questa forza:

\[ F_r \propto \theta . \]

Ora dovremmo avere abbastanza informazioni per disegnare un diagramma di corpo libero e determinare se la nostra forza mostra questa relazione con l'angolo. Le uniche forze che agiscono sul nostro pendolo semplice sono la forza di gravità che agisce verso il basso e la tensione della corda che mantiene il pendolo nel suo movimento rotatorio.

Fig. 2 - Diagramma di corpo libero di un pendolo semplice

Possiamo dividere la forza di gravità nelle sue componenti \(x\) e \(y\) per ottenere la nostra forza di ritorno della nostra massa. La gravità fornisce la forza di ritorno perché, ancora una volta, la tensione della corda mantiene il moto rotatorio della nostra massa.

Fig. 3 - Diagramma di corpo libero di un pendolo semplice in cui le forze sono state divise nelle componenti x e y.

In questo caso, la gravità nella direzione \(x\) è la forza di ritorno, la forza che agisce contro la direzione del moto. Si noti che, indipendentemente dalla posizione della massa nell'arco del pendolo, la tensione è perpendicolare al movimento. Per questo motivo è la gravità a fornire la forza di ritorno e non la tensione. Ora dobbiamo risolvere per \(F_{g_x} \) in termini di \( \theta \):

\[ sin(\theta) = \frac{F_{g_x}}{F_g} \] \[ F_{g_x} = F_g sin(\theta) \] \[ F_{g_x} = -mg sin(\theta) \]

Dove, \( m \) è la massa e \( g \) è l'aggelerazione dovuta alla gravità. Quindi, la nostra forza è proporzionale a \(sin(\theta)\) e non a \(\theta\)!

In altre parole, questo significa che non dobbiamo calcolare \( sin(\theta)\) fintantoché \(\theta\) è piccolo. Pertanto, per angoli piccoli, un pendolo semplice presenta effettivamente un moto armonico semplice! Vediamo un esempio che utilizza l'approssimazione per piccoli angoli per vedere questo strumento in azione.

Vediamo le formule più importanti da conoscere per lavorare con i pendoli semplici.

Formule pendolo semplice

Ora che abbiamo dimostrato che l'approssimazione per piccoli angoli è valida per i pendoli semplici, purché l'angolo non sia troppo grande, possiamo mettere in relazione i pendoli semplici con il moto armonico semplice, esplorando alcune delle loro proprietà. Consideriamo innanzitutto la nostra nuova forza di ritorno, assumendo l'approssimazione per angoli piccoli:

\[ F_{g_x} \approx -mg\theta\] \[ F_{g_x} \approx -mg \left(\frac{x}{L}\right)\] \[F_{g_x} \approx - \left(\frac{mg}{L}\right) x\]

Ricordiamo che il moto armonico semplice obbedisce alla legge di Hooke, la teoria che afferma che esiste una proporzionalità lineare tra lo spostamento e un fattore costante (come la rigidità) con la forza:

\[F = -kx\]

Perciò, comparanto queste due equazioni, possiamo vedere che la nostra costante \(k\) è:

\[k = \frac{mg}{L}\]

Ora, possiamo applicare le nostre formule per il moto armonico semplice al pendolo semplice. Iniziamo a considerare il periodo, il tempo che si impiega a compiere un ciclo completo del moto. Il periodo \(T\) è dato da:

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

Il periodo è misurato in unità di tempo, come i secondi \(s\). Se inseriamo i valori per la nostra costante \(k\) in questa equazione, otteniamo il periodo per il pendolo semplice:

\[T= 2\pi \sqrt{\frac{m}{\frac{mg}{L}} } = 2\pi \sqrt{ \frac{L}{g}}\]

La frequenza, o il numero di oscillazioni di un evento periodico nell'unità di tempo è semplicemente l'inverso del periodo:

\[ f=\frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{L}}\]

La frequenza si misura in unità di tempo inverse, come \(1/s\), anche noto come hertz (Hz). Ora, possiamo usare la formula per il periodo di un pendolo semplice per ricavare la frequenza angolare \(\omega\). Ricordiamo che la formula del periodo di un moto circolare può essere scritta come:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega}\]

Perciò, possiamo trovare che la frequenza angolare è

\[ \omega = \frac{2\pi}{T} \] \[\omega = \frac{2\pi}{2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}} = \sqrt{\frac{g}{L}} \]

La frequenza angolare di solito viene misurata in radianti al secondo (\(rad /s)\). Una cosa interessante da notare è che nessuna di queste formule si basa sull'angolo di spostamento o sulla massa del pendolo. Entro i limiti dell'approssimazione per angoli piccoli, non importa quanto grande sia l'ampiezza che diamo ai nostri pendoli, il periodo e la frequenza rimangono gli stessi, finché la lunghezza del pendolo rimane costante!Per riassumere, ecco le formule che dovreste essere pronti a utilizzare per affrontare semplici problemi di pendolo:

• Possiamo trovare il periodo di un pendolo semplice usando la formula \( T= 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\)
• Possiamo trovare la frequenza di un pendolo semplice usando l'inverso della formula precedente, \( f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}\), oppure più semplicemente prendendo l'inverso del risultato per il periodo
• Possiamo trovare la frequenza angolare per un pendolo semplice usando la formula \( \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}\)

Applicazioni pendolo semplice

Le applicazioni dei pendoli semplici sono più comuni nella vita quotidiana di quanto si possa pensare! Abbiamo già visto che i vecchi orologi, in particolare quelli "a pendolo", sono una classica applicazione del pendolo in azione. Abbiamo anche considerato brevemente che il movimento avanti e indietro su un'altalena, una palla da demolizione o il lancio di una palla da bowling possono essere approssimati come semplici pendoli. Ognuno di questi movimenti comporta un fissaggio approssimativamente rigido a un punto fisso e un'oscillazione ripetitiva.Quali sono le altre applicazioni? Consideriamo la classica giostra del parco divertimenti, una nave pirata che oscilla:

Fig. 4 - La nave pirata oscillante è un esempio di pendolo semplice.

In questa giostra, la barca mostra un moto armonico semplice mentre oscilla avanti e indietro tra due altezze estreme attorno al suo rigido attacco metallico. Anche il metronomo, lo strumento che i musicisti usano per tenere un ritmo e un tempo precisi mentre suonano uno strumento, obbedisce al comportamento di un pendolo semplice, con la gravità che agisce sui contrappesi per la forza di richiamo.

Esercizi pendolo semplice

Usiamo un esercizio come esempio per mettere in pratica le formule che abbiamo ricavato.

I pendoli semplici sono solo un'altra forma di moto armonico semplice, un moto periodico che si può trovare in molti scenari quotidiani. Anche se facciamo delle approssimazioni per analizzare questi sistemi, i nostri calcoli semplificati sono comunque utili per comprendere questo tipo di moto.