Moto uniformemente accelerato

Accelerazione media e instantanea

Possiamo calcolare l'accelerazione di un oggetto in movimento se conosciamo i valori iniziali e finali della velocità nell'intervallo di tempo:

$$a_m=\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{v_1-v_0}{t_1-t_0},$$

dove $\mathrm{\Delta }v$ è la variazione di velocità nel tempo $\mathrm{\Delta }t$. Tuttavia, questa equazione ci fornisce l'accelerazione media nell'intervallo di tempo. Se invece vogliamo determinare l'accelerazione istantanea, dobbiamo utilizzare la seguente formula:

$$a_{ist}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}$$

In altre parole, l'accelerazione instantanea è matematicamente definita come la derivata prima della velocità e la derivata seconda della posizione, entrambe rispetto al tempo.

Dalla definizione di moto uniformemente accelerato segue che l'accelerazione media coincide con l'accelerazione instantanea in qualunque istante di tempo:

$$a_{\mathrm{m}}=a_{\mathrm{ist}}=\mathrm{costante}.$$

Moto rettilineo uniformemente accelerato: formule

Indicando con $v_0$ e $t_0$, rispettivamente, la velocità e il tempo iniziale, il valore dell'accelerazione costante può essere calcolato con la seguente formula:

$$a=\frac{v-v_0}{t-t_0}.$$

Da questa formula possiamo ricavare il valore della velocità:

$$v=v_0+a(t-t_0).$$

La legge oraria rappresenta la posizione in funzione del tempo ed è espressa dalla seguente formula:

$$s=s_0+v_0(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t-t_0{)}^2,$$

dove $s_0$ è la posizione iniziale.

Quando, in un problema, conosciamo lo spazio percorso e la velocità ma non il tempo, possiamo ricavare l'accelerazione a partire dalla seguente equazione: $v^2=v_0^2+2a(s-s_0)$. L'accelerazione sarà, pertanto,

$$a=\frac{v^2-v_0^2}{2(s-s_0)}.$$

La seguente tabella riporta tutte le formule che abbiamo appena scritto.

Moto rettilineo uniforme e moto rettilineo uniformemente accelerato: differenze

È importante non confondere il moto rettilineo uniforme con il moto uniformemente accelerato. Ricordiamo cosa si intende per moto rettilineo uniforme.

Per un oggetto che si muove con velocità costante, l'accelerazione deve essere nulla. Pertanto, il moto rettilineo uniforme non implica un'accelerazione uniforme, poiché l'accelerazione è zero. D'altra parte, in un moto uniformemente accelerato, l'accelerazione è costante e la velocità, poiché vi è accelerazione, varia.

Moto rettilineo uniformemente accelerato: grafici

Prima di passare ai grafici per il moto uniformemente accelerato, rivediamo brevemente i grafici per il moto uniforme.

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Fig. 1 - Grafici spazio-tempo, velocità-tempo e accelerazione-tempo nel caso di un oggetto fermo, in moto rettilineo uniforme, e in moto uniformemente accelerato.

Moto rettilineo uniforme

Abbiamo appena parlato della differenza tra moto rettilineo uniforme e moto uniformemente accelerato. In Figura 1 osserviamo una serie di tre grafici che rappresentano tre diverse variabili cinematiche per un oggetto in moto durante un certo lasso di tempo $\mathrm{\Delta }t$: la posizione (nella figura rappresentata da $x$), la velocità e l'accelerazione.

Nel caso del moto rettilineo uniforme (seconda riga in Figura 1), osserviamo che lo spostamento, o la variazione di posizione rispetto al punto di partenza, aumenta linearmente con il tempo: il moto ha quindi una velocità costante nel tempo. Nel grafico velocità-tempo, il moto rettilineo uniforme è rappresentato una una retta con una pendenza pari a zero, in quanto la velocità non cambia. L'accelerazione rimane invece nulla in ogni istante, come ci aspetteremmo.

Un altro aspetto importante da notare è che l'area sotto il grafico velocità-tempo equivale allo spostamento. Infatti, prendendo come esempio l'area in blu sottesa alla retta nel grafico velocità-tempo in Figura 1, è facile vedere che, una volta fissati il tempo iniziale e finale, l'area sottesa al segmento è l'area di un rettangolo che ha come base l'intervallo di tempo e come altezza il valore della velocità: $v\cdot \mathrm{\Delta }t$. Dalla definizione di velocità nel moto rettilineo uniforme, è facile vedere che questo valore è uguale allo spostamento.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Esaminiamo ora il grafico velocità-tempo nel caso di un moto uniformemente accelerato. In Figura 1 è possibile vedere che la posizione $x$ varia quadraticamente con il tempo (come ci aspetteremmo dalla legge oraria), la velocità varia linearmente con il tempo e l'accelerazione, essendo costante, è rappresentata da una retta parallela all'asse delle x.

Vediamo ora un semplice sempio di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Consideriamo un corpo in moto con velocità data dalla funzione $v(t)=2t$.

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Fig. 2 - Nel moto uniformemente accelerato, la velocità varia linearmente con il tempo.

La Figura 2 mostra la funzione $v(t)=2t$ da $t_0=0\mathrm{s}$ a $t_1=5\mathrm{s}$. Poiché la variazione di velocità non è nulla, sappiamo che vi è accelerazione. Dati $v_0=0\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_1=10\mathrm{m}/\mathrm{s}$, e $\mathrm{\Delta }t=5\mathrm{s}$, possiamo ricavare il valore dell'accelerazione con la seguente formula:

$$a=\frac{v_1-v_0}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{10\mathrm{m}/\mathrm{s}-0}{5\mathrm{s}}=2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$$

In un grafico accelerazione-tempo, l'accelerazione sarà rappresentata da una retta con pendenza nulla (ovvero, parallela all'asse x) che interseca l'asse y in corrispondenza del valore $2\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$.

Moto uniformemente accelerato: esercizi

Ora che conosciamo la definizione e le formule del moto uniformemente accelerato, risolviamo insieme qualche esercizio!

Un bambino lascia cadere una palla da una finestra a una distanza di $11,5\mathrm{m}$ dal suolo sottostante. Ignorando la resistenza dell'aria, quanti secondi passano prima che la palla tocchi terra?

La caduta dei gravi è l'esempio più comune di moto uniformemente accelerato!

Potrebbe sembrare che non ci siano state date abbastanza informazioni, ma i valori di alcune variabili sono impliciti nel contesto del problema. Dovremo dedurre alcune condizioni iniziali in base allo scenario in questione:

• In assenza di altre informazioni, possiamo ipotizzare che il bambino non abbia dato alcuna velocità iniziale al momento del rilascio della palla. Assumiamo quindi che la velocità iniziale sia nulla: $v_0=0\mathrm{m}/\mathrm{s}$.
• Poiché la palla è in caduta libera verticale per effetto della gravità, sappiamo che l'accelerazione ha un valore costante pari a $9,81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$.
• Poiché conosciamo lo spostamento, la velocità iniziale e l'accelerazione, possiamo utilizzare la seguente equazione che esprime la legge oraria della palla: $\mathrm{\Delta }y=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$.

Ora dobbiamo soltanto inserirei i dati e risolvere per il tempo.

Inserendo $v_0=0$ nella formula $\mathrm{\Delta }y=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$, otteniamo:

$$\mathrm{\Delta }y=\frac{1}{2}a{t}^2.$$ Risolvendo per il tempo otteniamo:

$$t=\sqrt{\frac{2\mathrm{\Delta }y}{a}}=\sqrt{\frac{2\cdot 11,5\mathrm{m}}{9,81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2}}=1,53\mathrm{s}.$$

La palla impiega $1,53\mathrm{s}$ per arrivare al suolo.