Moto armonico semplice

Legge di Hooke e moto armonico semplice

Se una massa viene attaccata a una molla e poi spostata dalla sua posizione iniziale di riposo, oscillerà intorno alla posizione iniziale in moto armonico semplice.La legge di Hooke afferma che la forza di ritorno necessaria per estendere o comprimere la molla dalla sua posizione iniziale di riposo per una distanza \(x\), è proporzionale alla costante \(k\) della molla, che è una caratteristica della sua rigidità. Il segno negativo nella formula indica che la forza ha una direzione negativa rispetto allo spostamento. Il periodo di una molla oscillante può essere trovato anche con l'equazione seguente, dove \(T\) è il periodo e \(m\) è la massa della molla.

\[T[s] = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\,.\]

La legge di Hooke ha la stessa forma della seconda legge di Newton, dove la massa è il reciproco della rigidità della molla e l'accelerazione è il reciproco dello spostamento negativo. Quindi, l'accelerazione nel moto armonico semplice è proporzionale allo spostamento e ha direzione opposta (vedi sotto; dove x è la distanza di una massa che oscilla dalla sua posizione di equilibrio).

\[ Legge \: di \: Hooke : F[\mathrm{N}] = -k[\mathrm{N}/\mathrm{m}] \cdot x[\mathrm{m}]\] \[Seconda \: legge \: di \: Newton : F[\mathrm{N}] = m[\mathrm{kg}] a[\mathrm{m}/\mathrm{s}^2]\]

Equazioni moto armonico semplice

Esistono diverse equazioni utilizzate per descrivere una massa che compie un moto armonico semplice.

Equazione periodo moto armonico semplice

Il periodo di tempo \(T\), di un oggetto che esegue un moto armonico semplice, è il tempo necessario a un sistema per compiere un'oscillazione completa e tornare alla posizione di equilibrio. Si presume che un'oscillazione completa sia completata quando un oggetto si è spostato dalla sua posizione iniziale, ha raggiunto i due punti di massimo spostamento e poi è tornato alla posizione iniziale.Il periodo di tempo può essere ricavato dall'equazione seguente, dove \(\omega\) è il tasso di variazione dello spostamento angolare rispetto al tempo, \(T\) è il periodo e \(f\) è il numero di oscillazioni complete completate in un secondo.

\[f[\mathrm{Hz}]=1/T[\mathrm{s}]\]

\[\omega[\mathrm{rad}/\mathrm{s}] = \frac{2\pi}{T[\mathrm{s}]}=2\pi f\]

Accelerazione moto armonico semplice

L'accelerazione massima, \(a\), di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice è proporzionale allo spostamento, \(x\), e alla frequenza angolare \(\omega\). La formula indica che l'accelerazione ha una direzione opposta allo spostamento indicato dal segno meno. Mostra anche che l'accelerazione raggiunge il suo massimo quando lo spostamento è alla massima ampiezza, cioè nel punto più lontano dall'equilibrio.

\[ a_{max} [\mathrm{m}/\mathrm{s}^2] = -\omega^2 [\mathrm{rad}/\mathrm{s}] \cdot x_0[\mathrm{m}]\]

L'equazione data è descritta di seguito, dove un grafico dell'accelerazione rispetto alla posizione illustra che l'accelerazione è una funzione dello spostamento. La pendenza del grafico dato è uguale al quadrato negativo della frequenza angolare, come mostrato nell'equazione sottostante. Lo spostamento massimo e minimo sono quindi \(+x_0\) e \(-x_0\), come rispettivamente indicato.

Fig. 2 - Grafico accelerazione-spostamento.

\[pendenza = \frac{a}{x}=-\omega^2 [\mathrm{rad}/\mathrm{s}]\]

La posizione di un oggetto in moto armonico può essere trovata con l'equazione seguente se sono note la frequenza angolare e l'ampiezza in un dato momento.\[x(t) = x_0 sin(\omega t)\]

Questa equazione può essere utilizzata quando l'oggetto oscilla dalla posizione di equilibrio iniziale. Per descrivere questo moto si può utilizzare un grafico sinusoidale, come mostrato nella figura seguente, che illustra l'esempio di un pendolo che parte dalla posizione di equilibrio.

Esempio di pendolo e grafico sinusoidale.

Se un oggetto oscilla dalla sua posizione di massimo spostamento, dove l'ampiezza è uguale a \(-x0\) o \(x0\), si può utilizzare l'equazione seguente.

\[ x(t) = x_0 cos(\omega t) \]

Un esempio di pendolo che inizia a oscillare nella sua posizione di massima ampiezza può essere descritto da un grafico e da un'equazione del coseno, come mostrato di seguito.

Esempio di pendolo e grafico del coseno.

Equazione velocità moto armonico semplice

La velocità di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice in un dato momento può essere trovata utilizzando l'equazione seguente dove \(v_{max}\) è la velocità massima, \(t\) è il tempo e \(\omega\) è la frequenza angolare.

\[v(t) = v_{max}cos(\omega t)\] \[v_{max} = \omega x_0\]

Questa equazione può anche essere derivata dall'equazione della posizione in termini di tempo; ricordiamo che la velocità è la derivata della posizione nel tempo. Un'altra equazione viene utilizzata per descrivere il comportamento della velocità rispetto allo spostamento e alla frequenza dell'oscillatore armonico mostrato di seguito, dove \(x_0\) è l'ampiezza e \(x\) è lo spostamento.

\[v=\pm \omega \sqrt{x_0^2 -x^2}\,.\]

Equazione accelerazione moto armonico semplice

L'accelerazione di un oggetto che oscilla in moto armonico semplice in un dato momento può essere trovata utilizzando l'equazione seguente, dove \(a_{max}\) è l'accelerazione massima, \(t\) è il tempo e \(\omega\) è la frequenza angolare. Questa equazione può anche essere derivata dall'equazione della velocità in termini di tempo, poiché l'accelerazione è la derivata della velocità nel tempo

\[ a(t) = - a_{max} cos(\omega t)\] \[a_{max} = \omega^2 x\]

Angolo di fase e sfasamento

Quando la posizione iniziale della massa oscillante \(m\) al momento iniziale non è uguale all'ampiezza e la velocità iniziale non è zero, la funzione coseno risultante che rappresenta il moto della massa apparirà leggermente spostata.

Questo fenomeno è noto come sfasamento e può essere misurato in termini di angolo di fase \(\phi\), misurato in rad. In presenza di uno sfasamento, le equazioni del moto armonico semplice introdotte come funzione del tempo possono essere scritte anche come funzione dell'angolo di fase.

\[x(t) = x_0 cost(\omega t + \phi)\] \[v(t) = v_{max} sin(\omega t + \phi)\] \[ a(t) = - a_{max} cos(\omega t + \phi) \]

L'angolo di fase può essere determinato dalla posizione della massa \(m\) oscillante o dal suo grafico. Questo sfasamento può essere descritto come un angolo misurato in radianti usando l'equazione qua sotto, dove \(\omega\) è la frequenza angolare, \(t\) il tempo e \(\phi_0\) lo sfasamento iniziale.

\[\phi = \omega t + \phi_0 \,. \]