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Fig. 1 - Animazione che mostra il movimento del salterello.
Forza elastica: significato
Diamo un'occhiata più da vicino al significato di forza elastica.
Abbiamo visto come alcuni oggetti cerchino di tornare alla loro forma originale una volta deformati da una forza esterna. Quando una forza esterna agisce su un oggetto, quest'ultimo può deformarsi comprimendosi (comprimendo una molla), piegandosi (piegando un righello di plastica) o allungandosi (allungando un elastico). In questo caso, ci interessa la forza che aiuta a riportare questi oggetti alla loro forma originale.
La forza elastica è una forza che riporta alcuni materiali alla loro forma originale dopo essere stati deformati.
Nota bene: abbiamo detto alcuni materiali, non tutti i materiali. Infatti, le forze elastiche sono prodotte solo da materiali che sono elastici. Tali materiali sono chiamati elastomeri. Per esempio, un elastico teso tornerà alla sua forma originale una volta rimossa la forza che lo ha teso. Ma questo vale solo se l'elastico viene allungato entro un certo limite. Una volta superato questo limite, l'elastico potrebbe rompersi o deformarsi in modo permanente. Per spiegare questo fenomeno, esistono due tipi di deformazione: la deformazione elastica e la deformazione anelastica.
La deformazione elastica si verifica quando l'oggetto ritorna alla sua forma originale dopo che le forze sono state ritirate.
Una deformazione anelastica si verifica quando l'oggetto si deforma in modo permanente e non torna alla sua posizione originale.
Quando un oggetto viene deformato (allungato, piegato o schiacciato), si verifica una deformazione elastica quando l'oggetto ritorna alla sua forma originale una volta rimossa la forza agente su di esso. Si parla invece di deformazione anelastica se l'oggetto non ritorna alla sua forma originaria.
Quando il lavoro compiuto da una forza agente su un oggetto è indipendente dal percorso, si parla di forza conservativa. La forza elastica è conservativa, poiché, come vedremo in seguito, il lavoro da essa compiuto dipende solo dalle posizioni iniziale e finale.
Una molla senza massa e senza attrito è quella che definiamo una molla ideale.
La costante elastica
La costante elastica è una costante di proporzionalità tra la forza esercitata su una molla e l'estensione/compressione risultante. È una rappresentazione della capacità di una molla di resistere a una forza esterna; più rigida è la molla, maggiore è lo sforzo necessario per comprimerla o allungarla. Una molla con una rigidità o costante elastica pari a \( 10 \, \mathrm N\, \mathrm m^{-1}\) richiederebbe una forza di \( 10 \, \mathrm N\) per un allungamento di \( 1 \, \mathrm m\).
Quindi, data la costante elastica, come si calcola la forza elastica che riporta l'oggetto alla sua forma originale?
Immaginiamo di avere una molla di lunghezza \(l_0\) e di allungarla fino a portarla a una lunghezza è pari a \(l\). Chiamiamo la differenza tra queste due lunghezze (che ci dice di quanto la molla si è allungata) elongazione \(x\):
\[ x = l - l_0 \,.\]
Poiché la molla è stata allungata, si ha \( l > l_0\) e, quindi, \( x>0\) . Nel caso in cui la molla venisse compressa, si avrà \( l < l_0\) e, quindi \( x<0\).
La forza di richiamo è direttamente proporzionale a \(x\) ed è data dalla legge di Hooke. In forma vettoriale:
\[ \vec F = - k \vec x \,,\]
dove \(k\) è la costante elastica e \(\vec x\) è l'elongazione della molla (positiva se la molla viene allungata o negativa se viene compressa). Il segno meno deriva dal fatto che la forza elastica e l'elongazione hanno verso opposto.
Consideriamo una molla orientata lungo l'asse x. Se, prendendo l'estremità destra della molla, allungo la molla secondo il verso positivo dell'asse x (verso destra), la forza di richiamo sarà diretta a sinistra, in verso contrario all'elongazione. Se, sempre prendendo l'estremità destra della molla, comprimo la molla verso sinistra, l'elongazione sarà negativa (\(l <l_0\)) e, quindi, la forza di richiamo sarà diretta verso detsra e, quindi, positiva.
La rigidità è una caratteristica della molla ed è determinata anche dal numero di spire che la compongono. Meno spire ci sono, più rigida sarà la molla.
Come si può dedurre dalla formula precedente, l'estensione della molla o di qualsiasi elastomero è direttamente proporzionale alla forza applicata. Tuttavia, questo è vero solo fino a un punto chiamato limite di proporzionalità.
Questa relazione è data dalla legge di Hooke. Questa legge, nota anche come legge dell'elasticità, afferma che la deformazione è direttamente proporzionale al carico deformante o alla forza applicata fino al limite di proporzionalità.
Il limite di proporzionalità è il punto oltre il quale la forza esterna provoca una deformazione permanente dell'oggetto.
Comprendiamo ora il processo di allungamento di un oggetto elastico utilizzando un grafico. Il grafico registra la forza applicata sull'asse y e l'estensione del materiale sull'asse x.
Fig. 2 - La curva forza-estensione di una molla mostra la relazione lineare e non lineare tra di esse
La figura precedente mostra la relazione tra la forza applicata a due diverse molle e l'estensione delle stesse. Si può notare che la forza è direttamente proporzionale allo spostamento di entrambe le molle A e B solo fino a un certo punto. Questo punto è il limite di proporzionalità; una volta che la forza supera questo limite, la relazione tra estensione e forza diventa non lineare.
Ora, si può dire qualcosa sulla costante elastica delle molle A e B osservando solamente i grafici? Possiamo notare che il grafico di A è molto più ripido di quello di B, il che significa che, a parità di forza, la molla B si deforma di più della molla A. Cosa significa? Significa che la molla A ha una costante elastica o una rigidità maggiore rispetto alla molla B, poiché richiede una forza maggiore per ottenere la stessa deformazione. Ora che abbiamo capito bene come funziona la forza elastica, vediamo un esempio.
Forza elatica: esempi
Vediamo ora un esempio di problema sulla forza elastica.
Una molla è attaccata a una parete sul lato sinistro, come mostrato nella figura seguente. La costante della molla \(k\) è pari a \(100 \, \mathrm N\, \mathrm m^{-1}\). All'altra estremità della molla viene fissato un blocco su cui è applicata una forza che sposta il sistema verso sinistra. La lunghezza della molla diminuisce da \(l_0 = 50 \, \mathrm{cm}\) a \(l = 45 \, \mathrm{cm}\). Calcola l'intensità della forza elastica.
Fig. 3 - La forzaelastica di una molla compressa.
Calcoliamo innanzitutto di quanto la molla è stata compressa:
\[x = l -l_0= 45 \, \mathrm{cm} - 50 \, \mathrm{cm}= - 5 \, \mathrm{cm}\,.\]
L'intenstià della forza elastica si calcola a partire dalla legge di Hooke:
\[ \vec F = - k \vec x\]
Inserendo i dati si ottiene:
\[F = - (100 \, \mathrm N \, \mathrm m^{-1}) ( -0{,}05 \, \mathrm m) =5 \, \mathrm N \,.\]
Come ci aspettavamo, la forza di richiamo è diretta verso destra e, quindi, è positiva.
Lavoro della forza elastica: formula
Siamo ora pronti per ricavare il lavoro della forza elastica, ovvero, il lavoro esercitato dalla forza di Hooke.
Ricordiamo brevemente la definizione di lavoro di una forza (se vorrai approfondire questo argomento, ti suggeriamo di dare un'occhiata all'articolo dedicato). Data una forza \( \vec F\) non costante e uno spostamento \( \vec s\), il lavoro compiuto dalla forza \( \vec F\) è dato dal seguente integrale:
\[ W = \int_A^B \vec F \cdot d \vec s \]
per uno spostamento da A a B.
Per trovare il lavoro compiuto dalla forza elastica basterà quindi sostituire la forza elastica nell'integrale, e alle posizioni A e B i valori iniziale (\(x_A = l_A - l_0\)) e finale (\(x_B= l_B -l_0\)) dell'elongazione:
\[ W = \int_{x_A}^{x_B} \vec F(x) \cdot d \vec x \,,\]
dove \( \vec F(x) = - k \vec x\). Poiché siamo in una dimensione, possiamo scrivere semplicemente:
\[ W = \int_{x_A}^{x_B} -kx \space dx \,.\]
Poiché \(k\) è una costante, possiamo portarla fuori dall'integrale. Risolvendo l'integrale si ottiene:
\[ W = - k\int_{x_A}^{x_B} x \, dx = -k \: \biggl [ \frac{x^2}{2} \biggr ]_{x_A}^{x_B} = -\frac{1}{2}k \: \bigl (x_B^2 - x_A^2 \bigr )\,.\]
Se la molla è inizialmente a riposo (\(x_A = l_0-l_0=0\)), il lavoro dipenderà solo dall'elongazione finale:
\[ W = -\frac{1}{2}k \: x_B^2 \,. \]
Abbiamo così ricavato la formula per il lavoro della forza elastica. Prima di concludere questa nostra spiegazione, vediamo un semplice esercizio.
Una molla viene allungata dalla sua lunghezza a riposo di \(10 \, \mathrm {cm}\) a in modo che raggiunga una lunghezza di \( 12 \, \mathrm{cm}\). Quant'è il lavoro della forza elastica se la costante elastica della molla è di \( 8 \, \mathrm N \, \mathrm m^{-1}\) ?
Poiché la lunghezza iniziale è quella di riposo, l'elongazione iniziale è nulla (\(x_A = l_0-l_0=0\)). Possiamo quindi calcolare il lavoro con la seguente formula:
\[ W = -\frac{1}{2}k \: x_B^2 \,. \]
Sostituendo i valori si ottiene:
\[ W = -\frac{1}{2}k \: x_B^2 = - \frac{1}{2} (8\, \mathrm N \, \mathrm m^{-1}) \bigl ( 0{,}02 \, \mathrm m\bigr )^2 = - 0,0016 \, \mathrm J \]
Lavoro della forza elastica - Punti chiave
- La forza elastica è la forza con cui reagiscono alcuni materiali dopo aver subito una deformazione.
- La legge di Hooke è una legge sperimentale che ci dice che la deformazione subita da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza applicata su di esso.
- Nel caso di una molla soggetta ad allungamento o compressione, la forza di richiamo, data dalla legge di Hooke, è \( \vec F = - k \vec x\), dove \(k\) è la costante elastica e \( \vec x \) è detta elongazione.
- La costante elastica è una misura della rigidità della molla: più rigida è la molla, maggiore è il valore della costante elastica (e maggiore è lo sforzo necessario per comprimerla o allungarla).
Una molla ideale è una molla con massa zero e attrito nullo.
Il lavoro della forza elastica è il lavoro compiuto dalla legge di Hooke ed è pari a: \( W = -\frac{1}{2}k \: \bigl (x_B^2 - x_A^2 \bigr )\), dove \(x_A\) e \(x_B\) sono, rispettivamente, i valori iniziale e final dell'elongazione.
La forza elastica è conservativa poiché il lavoro da essa esercitato dipende solo dalla posizione iniziale e non dal percorso seguito.
References
- Fig. 2 - Force vs extension.jpg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Force_vs_extension.jpg) by Ranjit Boodoo is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/)
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Domande frequenti riguardo Lavoro della forza elastica
Come si calcola la forza elastica?
La legge di Hooke è una legge sperimentale che ci dice che la deformazione subita da un corpo elastico è direttamente proporzionale alla forza applicata su di esso.
Nel caso di una molla soggetta ad allungamento o compressione, la forza di richiamo, data dalla legge di Hooke, è F = - kx, dove k è la costante elastica e x è detta elongazione della molla.
Come si calcola il lavoro di una forza?
Nel caso di una forza costante F lungo uno spostamento rettilineo s, il lavoro sarà dato tra il prodotto scalare tra la forza e lo spostamento. Questo prodotto è pari a F s cos(ϑ), dove ϑ è l'angolo compreso tra i vettori F e s.
Nel caso in cui F non sia costante, occorre svolgere l'integrale lungo il percorso eseguito. Nel caso specifico in cui F sia la forza elastica, il lavoro sarà pari a -1/2 k (xB2 - xA2) , dove xA e xB sono, rispettivamente, i valori iniziale e finale dell'elongazione.
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