Impulso

Impulso: significato

Per dare una definizione di impulso formale, conviene partire da un esempio pratico. Pensiamo ad una partita di baseball: la palla viene lanciata verso il ricevitore, che la colpisce con la mazza, la palla dopo l'urto cambia quasi istantaneamente direzione e velocità. Questo avviene perché la mazza da baseball imprime sulla palla una forza. Quando le forze in gioco agiscono in tempi brevi, quasi istantanei, si parla di forze impulsive, proprio come in questo caso.

Fig. 1 - Quando la mazza da baseball di un ricevitore colpisce la palla, vi imprime una forza impulsiva e ne cambia la quantità di moto.

Questo esempio mette in luce un aspetto fondamentale dell'impulso: la sua relazione con la quantità di moto di un oggetto. La palla viene colpita quando ha una certa velocità e direzione che viene modificata durante il contatto con la mazza da baseball.

Impulso: formula

Possiamo quindi pensare all'impulso come la forza esercitata per un certo tempo. In questo senso, possiamo scrivere la formula dell'impulso come

\[\vec{I} = \vec{F}_\text{costante} \,\Delta t\, .\]

È molto importante il pedice "costante" nella forza, questo perché quando trattiamo forze non costanti dobbiamo passare alla notazione integrale

\[\vec{I} = \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}} \vec{F}\, \mathrm{d}t\,,\]

dove integriamo tra un tempo iniziale \(t_\mathrm{i}\) e un tempo finale \(t_\mathrm{f}\) di applicazione della forza \(\vec{F}\).

In entrambi i casi, l'impulso è una quantità vettoriale, perché la forza \(\vec{F}\) lo è a sua volta e il tempo è una quantità scalare. L'unità di misura dell'impulso in unità del sistema internazionale è il newton-secondo (\(\mathrm{N}\,\mathrm{s}\)).

Teorema dell'impulso

Ricaviamo ora un importante teorema in meccanica: il teorema dell'impulso.

Abbiamo detto che la quantità di moto e l'impulso sono collegati: in fondo, quando la forza impulsiva esercitata dalla mazza da baseball agisce sulla palla, questa cambia velocità sia in modulo che in direzione e verso! Per comprendere questo collegamento, dobbiamo partire dall'equazione fondamentale della dinamica \(\vec{F}=m\vec{a}\).

Possiamo usare la definizione di accelerazione per riscrivere l'equazione fondamentale come

\[\vec{F} = m\vec{a}= m\, \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\,.\]

Se portiamo la massa al numeratore della frazione possiamo ottenere

\[\vec{F}=\frac{m \Delta\vec{v}}{\Delta t}\,.\]

Ma il numeratore è esattamente la variazione di quantità di moto \(\Delta \vec{p}\) !

\[\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}\,.\]

Se portiamo il tempo a sinistra dell'uguale, otteniamo

\[\vec{F}\Delta t = \Delta \vec{p}\,,\]

ovvero, a sinistra dell'uguale abbiamo la stessa quantità che abbiamo definito come impulso. Possiamo quindi concludere che

\[\vec{I} = \Delta\vec{p}\,,\]

ovvero, l'impulso descrive una variazione di quantità di moto dovuta all'applicazione di una forza costante per un certo periodo di tempo \(\Delta t\). Naturalmente, questa dimostrazione si può estendere al caso integrale in cui la forza non è costante nel tempo.

Impulso angolare

Non lo dimostreremo, ma accenniamo solamente che, proprio come la quantità di moto è legata all'impulso, il momento angolare è legato all'impulso angolare. In questo caso l'impulso angolare non è legato ad una forza, ma al momento torcente che questa esercita su un corpo rigido. In particolare, si può verificare che, per un momento costante nel tempo, vale

\[\vec{J} = \vec{M}\Delta t\,,\]

dove con \(\vec{J}\) indichiamo l'impulso angolare e con \(\vec{M}\) indichiamo il momento applicato al corpo rigido.

Ovviamente, anche in questo caso, qualora il momento non fosse costante si può usare la forma integrale

\[\vec{J} = \int_{t_\mathrm{i}}^{t_\mathrm{f}} \vec{M}\, \mathrm{d} t\,.\]

Come abbiamo detto, l'analogo al teorema dell'impulso per la quantità di moto ha a che fare con la variazione di momento angolare \(\vec{L}\) di un corpo rigido. Si può dimostrare che vale

\[\vec{J} = \Delta \vec{L}\,.\]