Energia e lavoro

Lavoro: formula

Possiamo calcolare il lavoro utilizzando la seguente formula

\[W=\vec{F} \cdot \vec{d}\]

dove \(W\) è il lavoro effettuato, \(F\) la forza applicata e \(d\) è la distanza percorsa dall'oggetto a cui è applicata la forza.

Il lavoro ha l'unità SI chiamata Joule, indicata con \(J\) ed equivalente a \(Nm\). Se si applica una forza su un oggetto e non si verifica alcuno spostamento, non si è compiuto alcun lavoro, indipendentemente dalla stanchezza che si prova.

Nel calcolare il lavoro compiuto su un oggetto, dobbiamo tenere presente che viene presa in considerazione solo la componente della forza parallela alla direzione del movimento. Se applicate una forza su una scatola e le vostre braccia sono parallele al pavimento, tutti i vostri sforzi contribuiranno al lavoro compiuto sulla scatola.

Fig. 2 - Solo la componente della forza parallela al moto contribuisce al lavoro.

Se invece le braccia non sono parallele al pavimento e si spinge la scatola con un certo angolo, nel calcolo del lavoro svolto si terrà conto solo della componente della forza parallela al movimento. La componente della forza applicata che è perpendicolare alla direzione del movimento viene scartata.

Nelle situazioni in cui la forza applicata è angolata rispetto allo spostamento e dobbiamo calcolare la distanza orizzontale percorsa, utilizziamo la seguente formula:

\[W= F dcos(\theta)\]

dove \(\theta\) è l'angolo con il piano orizzontale.

Nella figura qui sopra, se l'angolo \(\theta\) è zero, la forza applicata è completamente parallela alla direzione del moto e l'equazione diventa \(W= \vec{F}\cdot \vec{d}\). Se \(\theta=90^{\circ}\) e la direzione della forza è verso il basso, l'equazione risulta pari a zero e la scatola non si muove, poiché la forza applicata spinge la scatola nel terreno.

Se la forza verticale è diretta verso l'alto, la scatola si muoverà in direzione dell'alto (se la forza è sufficientemente grande) e si compirà un lavoro.

Lavoro positivo e negativo

Si potrebbe pensare che il lavoro abbia una forza e faccia muovere un oggetto in una certa direzione, ma non è così. Il lavoro è il prodotto scalare di due grandezze vettoriali: la forza e lo spostamento. E poiché il prodotto scalare di due grandezze vettoriali è una grandezza scalare, anche il lavoro lo è. Ha una grandezza ma non una direzione specifica.

Così come la temperatura è una grandezza scalare ma può avere valori negativi, anche il lavoro può essere positivo o negativo.

Il lavoro è positivo se la forza applicata a un oggetto è nella stessa direzione dello spostamento. Il lavoro è negativo se la forza applicata è nella direzione opposta allo spostamento dell'oggetto.

Energia: definizione

In precedenza, abbiamo definito il lavoro svolto come l'energia trasferita a un oggetto, il che indica che l'energia svolge un ruolo importante nel determinare il lavoro totale svolto.

L'energia, che determina la quantità di lavoro che un corpo può compiere, si misura anch'essa in Joule. L'energia è semplicemente una proprietà di un sistema che può essere trasferita a un altro sistema.

Teorema dell'energia cinetica

Questo teorema lega lavoro ed energia. Esso afferma che ogni volta che si compie un lavoro su un oggetto, si verifica una variazione dell'energia cinetica di quell'oggetto. L'energia cinetica è l'energia del movimento. Ma come possiamo dimostrare questo teorema?

Prima di tutto, faremo alcune ipotesi, anche se non sono necessarie per ricavare la formula per dimostrare il teorema lavoro-energia. Rendono solo i calcoli molto più semplici.

Supponiamo di avere forze che agiscono su un oggetto la cui direzione è la stessa dello spostamento. In questo caso \(\theta\) sarà pari a zero, il che riduce l'equazione a:

\[W = \vec{F} \cdot \vec{d}\]

Fig. 3 - Forza netta nella direzione del movimento

Vogliamo trattare il lavoro complessivo \(W_{net}\), possiamo quindi riscrivere la formula precedente come:

\[W_{net} = F_{net} \cdot d\]

\(F_{net}\) è la forza totale applicata all'oggetto. Sappiamo anche che la forza totale è uguale al prodotto della massa e dell'accelerazione, da cui:

\[F_{net} = \sum F = ma\] \[W_{net} =m a d\]

L'equazione precedente è caratterizzata da un'accelerazione, per poterla legare all'energia cinetica è necessario riscriverla nella forma della velocità v. Ricordiamo dalle equazioni della cinematica che:

\[v_f^2 = v_i^2+2 a d\] \[a d = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2}\]

\(v_f\) nell'equazione precedente è la velocità finale, \(v_i\) è la velocità iniziale, \(a\) è l'accelerazione e \(d\) è lo spostamento. Per utilizzare questa equazione della cinematica, dobbiamo assumere che l'accelerazione sia costante. In questo caso, anche la \(F_{net}\) applicata è costante.

Se inseriamo queste quantità nell'equazione per il lavoro totale \(W_{net}\), otteniamo:

\[W_{net} = m a d\] \[a d = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2}\] \[W_{net} = m\left( \frac{v_f^2 - v_i^2}{2} \right) = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2}m v_i^2\]

La quantità \(\frac{1}{2}mv^2\) è quella che chiamiamo energia cinetica \(E_k\). Possiamo quindi riscrivere il teorema come:

\[W_{net} = \Delta E_k \]