Energia cinetica

Energia cinetica: definizione

L'uso della seconda legge di Newton con i vettori forza e accelerazione per descrivere il moto di un oggetto può talvolta risultare difficile. I vettori possono infatti complicare le equazioni, poiché dobbiamo considerare sia la loro grandezza che il loro verso e direzione.

Nei problemi di fisica difficili da risolvere con i vettori forza e accelerazione, è molto più facile usare l'energia.

Esistono diversi tipi di energia, come l'energia termica ed elettrica, ma in questo articolo ci concentreremo sull'energia cinetica.

L'energia cinetica è una quantità scalare, che la rende più facile da trattare rispetto a un vettore. L'unità di misura dell'energia cinetica nel SI è il joule (\(1 \: \mathrm{J} = 1\, \mathrm{N} \, \mathrm{m}\)).

L'energia cinetica traslazionale di un oggetto dipende dalla massa e dalla velocità dell'oggetto ed è data dalla seguente formula:

\[ K = \frac {1} {2} m v^2 \,, \]

dove \(m\) è la massa del corpo e \(v\) il modulo della sua velocità.

In seguito discuteremo in modo più approfondito come siamo arrivati a questa equazione, ma possiamo subito notare che l'energia cinetica di un oggetto può essere solo una quantità positiva (o nulla, se l'oggetto non si muove e, quindi, \( v = 0\)) e non dipende dalla direzione del moto.

Rivediamo rapidamente cos'è il lavoro per comprendere meglio l'energia cinetica. In questo articolo ci concentreremo solo sulle forze costanti che agiscono sugli oggetti; le forze variabili saranno trattate in un altro articolo.

Il lavoro compiuto su un oggetto è il prodotto scalare del vettore forza che agisce sull'oggetto e del vettore spostamento.

Possiamo trovare il lavoro compiuto su un oggetto prendendo il prodotto scalare della forza \( \vec F \) e dello spostamento \( \vec d \):

\[ L = \vec F \cdot \vec d = F d \cos \theta\]

dove \( \theta \) è l'angolo tra i vettori. Si noti che il lavoro, come l'energia cinetica, è una quantità scalare.

Ora che abbiamo esaminato cos'è il lavoro, possiamo analizzare il rapporto tra energia cinetica e lavoro enunciando il teorema dell'energia cinetica.

Teorema dell'energia cinetica

Il teorema dell'energia cinetica afferma che

il lavoro della forza risultante compiuto su un corpo è pari alla variazione della sua energia cinetica:

\[ L = \Delta K = K_2 - K_1 \]

dove \( K_1 \) e \( K_2 \) rappresentano, rispettivamente, l'energia cinetica iniziale e l'energia cinetica finale del corpo.

Possiamo quindi pensare all'equazione dell'energia cinetica come al lavoro compiuto sul corpo per portare un oggetto da fermo alla sua velocità attuale \( v_2 = v \):

\[ L = K_2 - K_1 = \frac {1}{2} m v_2^2 - 0 = \frac {1}{2} m v^2 \,.\]

Dalla definizione di lavoro possiamo vedere come sia solo la componente della forza parallela al vettore spostamento (\( F \cos \theta \)) a modificare l'energia cinetica.

Quindi, se l'oggetto ha una componente della forza che è perpendicolare al vettore spostamento, quella componente della forza può cambiare la direzione del moto senza però compiere lavoro sull'oggetto (ad esempio, nel caso di un oggetto in moto circolare uniforme, l'energia cinetica è costante e la forza centripeta perpendicolare alla direzione del moto mantiene l'oggetto in moto circolare uniforme).

Energia cinetica: formula

Come siamo arrivati alla formula che mette in relazione l'energia cinetica con il lavoro? Consideriamo un oggetto che si muove orizzontalmente (lungo l'asse x) a cui è applicata una forza costante. Se l'accelerazione è costante possiamo scrivere:

\[ v_2^2 = v_1^2 + 2 a_x d\]

\[ a_x = \frac {v_2^2 - v_1^2} {2d}\,. \]

In questa equazione, \(v_1\) e \(v_2\) sono, rispettivamente, le velocità iniziale e finale, \(d\) è la distanza percorsa e \(a_x\) è l'accelerazione nella direzione dello spostamento.

Ora possiamo moltiplicare entrambi i lati dell'equazione per la massa dell'oggetto:

\[ m a_x = m \frac {v_2^2 - v_1^2} {2d} \]

Il membro sinistro di questa equazione è la forza netta nella direzione dello spostamento. Quindi, moltiplicando entrambi i membri per lo spostamento otteniamo:

\[ \vec F \cdot \vec d = m \frac {v_2^2 - v_1^2}{2} = \frac {1}{2} m v_2^2 - \frac {1}{2} m v_1^2 \,,\]

da cui troviamo che il lavoro compiuto su un oggetto è uguale alla variazione di energia cinetica che esso subisce:

\[ L = K_2 - K_1 \,. \]

Tipi di energia cinetica

In questo articolo abbiamo parlato dell'energia cinetica traslazionale. Altri due tipi di energia cinetica sono l'energia cinetica rotazionale e l'energia cinetica vibrazionale. Per ora non dobbiamo preoccuparci dell'energia cinetica vibrazionale, ma parleremo brevemente dell'energia cinetica rotazionale.

L'energia cinetica rotazionale di un corpo rigido in rotazione è data da:

\[ K = \frac {1}{2} I \omega^2 \,,\]

dove \( I \) il momento d'inerzia del corpo rigido e \( \omega \) è la sua velocità angolare.

Ora sappiamo che la variazione di energia cinetica rotazionale è il lavoro compiuto sull'oggetto. Quest'ultimo si ottiene moltiplicando lo spostamento angolare, \( \Delta \theta \), per il momento \( M \). Si ottiene, quindi,

\[ L = \Delta K = M \Delta \theta \,.\]

Energia cinetica ed energia potenziale

Abbiamo visto come l'energia cinetica dipenda solo dalla massa dell'oggetto e dalla sua velocità. L'energia potenziale è invece l'energia legata alla posizione del sistema e alla sua configurazione interna.

L'energia meccanica totale di un sistema si ottiene dalla somma delle energie cinetica e potenziale. Se su un sistema agiscono solo forze conservative, l'energia meccanica totale si conserva.

Un esempio piuttosto semplice è rappresentato da una palla in caduta libera da una certa altezza h, come mostrato in Figura 2.

Ignoriamo la resistenza dell'aria e consideriamo la gravità come unica forza agente sulla palla. All'altezza h, la palla possiede energia potenziale gravitazionale. Man mano che la palla cade, l'energia potenziale gravitazionale diminuisce fino a zero (ovvero, quando la palla tocca il suolo).

L'energia cinetica della palla aumenta durante la caduta perché la sua velocità aumenta, mentre l'energia meccanica totale del sistema rimane la stessa in qualsiasi punto.

Fig. 2 - Energia meccanica totale di una palla in caduta libera.

Energia cinetica: esempi