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Cinematica: definizione
La cinematica è quella branca della fisica che si occupa dello studio dei moti dei cosiddetti "punti materiali".
Un punto materiale è un corpo in cui le dimensioni si considerano trascurabili nei confronti del problema studiato.
Se la dinamica affronta il problema considerando le forze in gioco e le cause del moto, la cinematica si preoccupa esclusivamente del moto e delle sue caratteristiche.
Grandezze relative alla cinematica
Posizione
La posizione in cinematica descrive dove un punto materiale si trova rispetto un certo sistema di riferimento. È anche importante il sistema di coordinate scelto.
Un sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale effettuiamo le nostre misure e da cui osserviamo i fenomeni che andiamo a studiare.
Un sistema di coordinate è un sistema di riferimento in cui possiamo definire delle direzioni e delle coordinate che usiamo per calcolare la posizione degli oggetti nello spazio.
A parte qualche eccezione, assumeremo sempre di lavorare in un sistema di riferimento a coordinate cartesiane. Il sistema cartesiano ha il vantaggio di essere estremamente intuitivo, perché le coordinate \(x, y, z\) corrispondono al concetto quotidiano di destra-sinistra, avanti-dietro e in alto-in basso.
Fig. 1 - Sistema di riferimento cartesiano
Se pensiamo ad un oggetto che sta un metro davanti a noi, due metri alla nostra sinistra e 3 metri sopra la nostra testa possiamo pensare di indicarlo con una terna che indica completamente la sua posizione. In questo caso, potremmo dire che la posizione dell'oggetto è data da \(p=(1, 2, 3)\).
Ovviamente in questo caso il sistema di riferimento sarà centrato su di noi, la coordinata \(x\) indicherà la posizione in avanti o indietro rispetto noi, la \(y\) equivarrà al destra-sinistra (con sinistra preso come asse positivo) e l'asse \(z\) indicherà la posizione in alto o in basso dell'oggetto.
Velocità
La velocità è una grandezza definita come la variazione temporale della posizione. Ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo, nelle unità del SI si usa il metro al secondo (\(m/s\)).
La velocità media può essere calcolata prendendo la differenza di posizione di un oggetto (ad esempio la differenza tra un punto di arrivo e uno di inizio) e dividendola per il tempo che il punto materiale impiega a percorrere la distanza tra le due posizioni.
\[\langle \vec{v} \rangle = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}\]
dove \(\Delta \vec{r}\) è la variazione di spostamento (ovvero, prese due posizioni \(\vec{r_1}\) e \(\vec{r_2}\), \(\Delta \vec{r} = \vec{r_2} - \vec{r_1}\)), mentre \(\Delta t \) è la differenza di tempo (usando la stessa notazione, \(\Delta t = t_2 - t_1\), dove \(t_1\) è il tempo a cui il punto materiale si trova in \(\vec{r_1}\) e \(t_2\) quello in cui il punto si trova in \(\vec{r_2}\).
Questa velocità rappresenta, come abbiamo detto, la velocità media lungo il percorso. Per calcolare la velocità istantanea o la funzione che descrive come varia la velocità nel tempo abbiamo bisogno di uno strumento migliore. Per questo tipo di calcoli bisogna far uso del calcolo differenziale!
Per chi volesse approfondire il tema, abbiamo un approfondimento dedicato!
Il concetto di variazione di una grandezza nel tempo è equivalente a prendere la derivata temporale della grandezza che ci interessa. Nel caso specifico della velocità, questo significa prendere la derivata prima temporale della posizione del punto materiale.
\[ v(t) = \frac{d x(t)}{dt}\]
Se \(x(t)\) è una funzione continua che descrive la posizione del punto materiale in ogni istante di tempo, la velocità \(v(t)\) potrebbe essere anche essa dipendente dal tempo (come nel caso del moto uniformemente accelerato).
Il risultato di questo calcolo ha il vantaggio di essere una funzione in cui possiamo inserire un istante di tempo a piacere al posto della variabile \(t\) e ottenere la velocità istantanea del punto materiale!
Accelerazione
Se la velocità è la variazione della posizione, l'accelerazione è definita come la variazione temporale della velocità. Ha le dimensioni di una lunghezza divisa per un tempo al quadrato e nelle unità del SI si usa il metro al secondo quadrato (\(m/s^2\)).
Anche in questo caso, il calcolo dell'accelerazione media si può effettuare prendendo la differenza di velocità tra due momenti e dividerla per la differenza per il lasso di tempo tra i due momenti.
\[\langle \vec{a} \rangle = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\]
Come nel caso della velocità, questa è solo una media tra due punti, e per il calcolo dell'accelerazione istantanea bisogna rifarsi al calcolo differenziale. Vediamolo in questo approfondimento.
Essendo che l'accelerazione rappresenta la variazione di velocità nel tempo, possiamo usare la derivata prima della velocità, oppure possiamo pensarla come la derivata seconda della posizione:
\[a(t) = \frac{d v(t)}{dt} = \frac{d^2 x(t)}{dt}\]
Anche in questo caso, la funzione \(a(t)\) che risulta da questa operazione potrebbe dipendere dal tempo e ci permette di calcolare l'accelerazione istantanea sostituendo a \(t\) un valore di tempo a cui si vuole conosce l'accelerazione.
Cinematica: moti del punto materiale
Come abbiamo detto, la cinematica si occupa dello studio del moto di un punto materiale. Ognuno di questi moti ha un articolo dedicato su StudySmarter, tutavia in questa sezione vedremo una descrizione sommaria e alcune delle formule fondamentali per ciascuno dei moti.
Moto rettilineo uniforme
Il moto rettilineo uniforme è caratterizzato da una velocità costante. La condizione fondamentale per questo moto, è quindi:
\[v = cost.\]
L'accelerazione, in questo tipo di moto è nulla in ogni istante, quindi:
\[a= 0\]
La legge oraria per questo tipo di moto è data da:
\[x(t) = x_0 + vt\]
dove \(x_0\) è la posizione iniziale, \(v\) la velocità (che abbiamo detto essere costante) e \(t\) il tempo. In questo caso usiamo solo la coordinata \(x\) perché, per semplicità ci limitiamo al caso in cui il movimento avviene in una sola direzione
Moto rettilineo uniformemente accelerato
Il moto rettilineo uniformemente accelerato è, invece, caratterizzato da un'accelerazione costante. Quindi, la sua condizione fondamentale è data da:
\[a = cost.\]
La velocità, varierà di momento in momento come
\[v(t) = v_0 + a t \]
dove \(a\) è l'accelerazione e \(v_0\) la velocità iniziale dell'oggetto. Infine, la legge del moto orario è data da:
\[x(t) = x_0 + v_0t + \frac{1}{2} a t^2\]
Anche in questo caso ci siamo limitati ad una dimensione del moto per semplicità.
Caduta dei gravi
Il moto di caduta dei gravi è quello di un oggetto che cade affetto solo dalla forza di gravità. Sebbene come abbiamo detto, lo studio delle forze e delle loro conseguenze sia parte della dinamica, il moto dei gravi in caduta è anche quello di un oggetto con accelerazione costante. Si tratta quindi di un semplice modello in cui si può osservare un'applicazione diretta del moto rettilineo uniformemente accelerato.
Le formule del moto di caduta dei gravi sono praticamente uguali a quelle del moto rettilineo uniformemente accelerato, con l'unica differenza che, per convenzione, poniamo l'accelerazione negativa (perché un oggetto da una posizione iniziale in alto, ad un certo \(y_0=h_0\) cade, riducendo la propria altezza fino a cadere al suolo, a \(y=0\)).
\[a=-g \approx -9,8\frac{m}{s^2}\] \[v(t) = v_0 - g t\] \[y(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2\]
Fig. 2 - Esempio di caduta di una pallina da un'altezza \(h_0 = 1,5m\).
Moto parabolico
Il moto parabolico (o moto dei proiettili) è un moto che possiamo descrivere nel piano \(x-y\) di un punto materiale con una velocità iniziale ad un certo angolo rispetto all'orizzontale. Questo punto materiale seguirà una traiettoria descrivibile con una parabola, sotto il solo effetto dell'accelerazione di gravità. Siccome l'accelerazione è solo verticale, il moto può essere scomposto in un moto rettilineo uniforme lungo l'asse \(x\) e in un moto rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse delle \(y\).
Fig. 3 - Schema del moto parabolico. Un punto materiale viene lanciato con velocità iniziale \(v_0\) che forma un angolo \(\alpha\) rispetto all'asse delle \(x\).
La velocità iniziale \(v_0\), per poter studiare i due moti in parallelo, deve essere scomposta nelle sue componenti \(x\) e \(y\), in questo caso, saranno:
\[\cases{v_{0,x} = v_0 cos\alpha \\ v_{0,y} = v_0 sin \alpha}\]
Questo ci permette di scrivere le equazioni del moto:
\[\cases{x(t)=x_0+v_0 \: cos\alpha \: t \\ y(t) = y_0 + v_0 \: sin \alpha \: t - \frac{1}{2}g t^2}\]
Si può dimostrare che l'unione di queste due equazioni del moto genera l'equazione di una parabola.
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme è definito come il moto periodico di un punto materiale che si muove lungo una traiettoria circolare con velocità angolare costante sotto l'effetto di un'accelerazione centripeta (ovvero verso il centro del moto). Per questo tipo di moto è molto importante adottare un sistema di coordinate polari cartesiane (in cui \(x=rcos\theta\) e \(y=rsin\theta\), con \(\theta\) un certo angolo di rotazione rispetto all'asse delle \(x\) e \(r\) il raggio della circonferenza percorsa).
Essendo possibile vedere le stesse quantità espresse in diversi modi, vedremo solo alcune delle formule che caratterizzano il moto circolare uniforme, rimandando all'articolo dedicato per una descrizione più completa.
Le cinque grandezze fondamentali del moto circolare uniforme sono velocità tangenziale, velocità angolare, frequenza, periodo e accelerazione centripeta. Vediamone rapidamente le formule:
| Velocità tangenziale | Velocità angolare | Frequenza | Periodo | Accelerazione centripeta |
| \[v_t = \frac{2 \pi r}{T}\] | \[\omega=\frac{2\pi}{T}\] | \[f=\frac{1}{T}\] | \[T=\frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{f}\] | \[a_c = \frac{v_t^2}{r}\] |
In queste formule, \(r\) è il raggio della circonferenza che il punto materiale descrive.
La legge oraria del moto circolare uniforme è data da:
\[\theta(t)=\theta_0 + \omega t\]
ovvero, l'angolo ad un certo tempo \(t\) è uguale all'angolo iniziale più lo spostamento angolare.
Fig. 4 - Schema del moto circolare uniforme
Moto armonico semplice
Il moto armonico semplice è definito come il moto ripetitivo di una massa attorno a un punto di equilibrio. Il moto avviene tra due punti di spostamento massimo da entrambi i lati della posizione di equilibrio. Il moto armonico semplice è un moto periodico, che significa che si ripete con un periodo \(T\) e l'oggetto ogni tempo \(T\) torna alla sua posizione iniziale.
Periodo \(T\) e frequenza \(f\) delle oscillazioni sono legate dall'essere una il rapporto dell'altro:
\[T=\frac{1}{f}\: ; \quad f=\frac{1}{T}\]
Un'altra importante quantità è la pulsazione \(\omega\), che misura la velocità dell'oscillazione, può essere vista similarmente alla velocità angolare per il moto circolare uniforme, ha unità di misura \(rad/s\)
\[ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f\]
Come ultima quantità, vediamo la legge oraria, che può essere descritta da una cosinusoide:
\[x(t) = A cos (\omega t + \phi)\]
dove \(A\) è l'ampiezza delle oscillazioni e \(\phi\) è detta fase (o, a volte, sfasamento) del moto.
Cinematica - Punti chiave
- La cinematica è quella branca della fisica che si occupa dello studio dei moti dei cosiddetti "punti materiali".
- Un punto materiale è un corpo in cui le dimensioni si considerano trascurabili nei confronti del problema studiato.
- La posizione in cinematica descrive dove un punto materiale si trova rispetto un certo sistema di riferimento.
- Un sistema di riferimento è un sistema rispetto al quale effettuiamo le nostre misure e da cui osserviamo i fenomeni che andiamo a studiare.
- La velocità è definita come la variazione temporale della posizione.
- L'accelerazione è definita come la variazione temporale della velocità.
- Alcuni dei moti più comuni nella cinematica sono il moto rettilineo uniforme, il moto rettilineo uniformemente accelerato, il moto parabolico, il moto circolare e quello armonico semplice.
References
- Fig. 1 - Cartesian coordinates.png (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cartesian_coordinates.png) by Sommacal alfonso is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
- Fig. 2 - Coordinate-system-for-free-fall-problems.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Coordinate-system-for-free-fall-problems.svg) by MikeRun is licensed by CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en)
- Fig. 3 - Ferde hajitas2.svg (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ferde_hajitas2.svg) by Zátonyi Sándor, (ifj.) Fizped (https://commons.wikimedia.org/wiki/User:Fizped) is licensed by CC BY-SA 3.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.en)
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Domande frequenti riguardo Cinematica
Che caratteristiche ha un punto materiale?
Un punto materiale è un oggetto che può essere considerato piccolo rispetto al fenomeno considerato e la cui massa può essere racchiusa tutta in un singolo punto.
Quali sono le grandezze cinematiche?
Le principali grandezze cinematiche sono posizione, velocità e accelerazione.
Quali sono le grandezze cinematiche e dinamiche?
Le principali grandezze cinematiche sono posizione, velocità e accelerazione.
Le principali grandezze dinamiche invece includono anche la massa e la forza.
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