Grandezze vettoriali e scalari

Grandezze vettoriali e scalari definizione

Introduciamo immediatamente le definizioni di grandezze scalari e vettoriali prima di passare a qualche esempio per capire in maniera più pratica come vengono utilizzate.

Grandezze vettoriali e scalari: esempi

Come abbiamo già detto, una grandezza con una grandezza e una direzione è nota come grandezza vettoriale.

Vediamo alcuni esempi di scalari e vettori.

Supponiamo di avere una scatola e di spostarla di 5 metri.

Fig. 1 - Il movimento di un oggetto in una specifica direzione può essere rappresentato come un vettore.

Se si dice a qualcuno che la distanza tra i punti A e B è di 5 metri, si sta parlando di una quantità scalare perché non si specifica alcuna direzione. Cinque metri è solo una grandezza (distanza) e la direzione può essere qualsiasi. Quindi, la distanza è una grandezza scalare.

Tuttavia, se si dice a qualcuno che si è spostata la scatola di 5 metri a destra (est), come illustrato nella figura qua sopra, si sta parlando di una grandezza vettoriale. Perché? Perché ora avete specificato una direzione associata al movimento. In fisica si parla di spostamento. Quindi, lo spostamento è una grandezza vettoriale.

Supponiamo che ci siano voluti 2 secondi per spostare la scatola a destra.

Fig. 2 - Diagramma che mostra lo spostamento in un lasso di tempo

Se si vuole calcolare la velocità di spostamento della scatola, si calcola la velocità del movimento. Nell'esempio precedente, la velocità è:

\[v = \frac{5m}{2s}=2,5\: m/s\]

In questo caso si parla di velocità scalare, perché non ha alcuna direzione.

Tuttavia, la velocità può essere anche vettoriale se si indica che la scatola si è mossa con una velocità di \(2,5\: m/s\) a destra. Allo stesso modo, l'accelerazione (ovvero il tasso di cambiamento della velocità), quando associata a una direzione, è una quantità vettoriale.

Massa e peso: scalari o vettori?

La massa e il peso di un corpo possono sembrare uguali, ma non lo sono.

Massa

La massa non ha una direzione e sarà la stessa in qualsiasi punto dell'universo! Possiamo quindi classificare la massa come una quantità scalare.

Peso

Il peso, invece, è la forza che agisce su un oggetto e, poiché la forza ha una direzione, il peso è una grandezza vettoriale. Un altro modo di vedere la questione è quello di posizionare un oggetto sulla Terra e un altro oggetto con la stessa massa sulla Luna. Entrambi gli oggetti avranno la stessa massa ma un peso diverso a causa dell'attrazione gravitazionale sulla Luna (\(1,62\: m/s^2\)), che è più piccola rispetto alla Terra.

Vettori: rappresentazione

Possiamo rappresentare i vettori con una freccia, come mostrato di seguito.

Fig. 3 - Rappresentazione di un vettore

La lunghezza indica la magnitudine (o modulo), la coda è il punto iniziale di un vettore, il verso è indicato dalla punta della freccia e la direzione è la retta lungo cui si orienta il vettore. Direzione, verso e modulo possono specificare completamente e univocamente il vettore.

Somma di vettori

Vediamo alcuni esempi di come eseguire l'addizione vettoriale.

Supponiamo di avere due vettori di \(10\: N\) e \(15\: N\), che puntano entrambi verso est. La somma di questi vettori diventa \(25\:N\) verso est.

Fig. 4 - Vettori paralleli (con la stessa direzione) si possono semplicemente sommare in modulo e mantengono la stessa direzione. Se hanno lo stesso verso, mantengono anche quello invariato.

Ora, se cambiamo il verso del secondo vettore, di modo da farlo diventare di \(-15\:N\), il vettore risultante avrà sempre modulo \(5\:N\), ma avrà cambiato verso, poiché la somma tra i due vettori sarà negativo. Il segno della magnitudine di un vettore, quindi, ne definisce il verso una volta che si è deciso un sistema di riferimento.

Fig. 5 - Se il modulo cambia di segno durante l'addizione, anche il vettore risultante cambierà verso.

Naturalmente, non tutte le addizioni vettoriali sono così semplici come quelle mostrate sopra. Cosa fareste se i due vettori fossero perpendicolari tra loro?

Metodo punta-coda

Con questa regola, possiamo calcolare il vettore risultante unendo la coda del primo vettore con la punta del secondo. Vediamolo con qualche immagine.

Fig. 6 - Vettori in direzioni diverse possono sommarsi con il metodo punta-coda

Una forza vettoriale di \(30\:N\) agisce in direzione est, mentre una forza vettoriale di \(40\:N\) agisce in direzione nord. Possiamo calcolare il vettore risultante unendo la coda del vettore \(30\:N\) con la testa del vettore \(40\:N\). I vettori sono perpendicolari, quindi possiamo utilizzare il teorema di Pitagora per risolvere il vettore risultante, come mostrato nella prossima figura.

Fig. 7 - Somma di due vettori perpendicolari

Con un po' di trigonometria e applicando il teorema di Pitagora, il vettore risultante è \(50\:N\). Ora, come abbiamo detto, una quantità vettoriale ha una grandezza e una direzione, quindi possiamo calcolare l'angolo del vettore \(50\:N\) utilizzando una tangente inversa di 40/30 (perpendicolare/base). L'angolo è quindi \(53,1^{\circ}\) dall'orizzontale.

Scomposizione di vettori nelle sue componenti

Utilizzando lo stesso esempio di prima, cosa succederebbe se avessimo solo il vettore forza \(50\:N\) con un angolo dall'orizzontale e ci venisse chiesto di trovare le sue componenti orizzontali e verticali?

Vediamo un esempio per spiegare meglio questo concetto.

Supponiamo che una forza vettoriale \(F\) di \(150\:N\) sia applicata a un angolo di 30°.

Fig. 8 - Vettore \(F\) di magnitudine \(150N\) ad un angolo di 30°.

Possiamo dividere il vettore F in una componente orizzontale (\(F_x\)) e una verticale (\(F_y\)), come illustrato di seguito:

Fig. 9 - Decomposizione del vettore

Calcolando \(F_x\) e \(F_y\) con la trigonometria si ottiene:

\[F_x = Fcos(30^{\circ})=129,9N\] \[F_y = Fsin(30^{\circ})=75N\]

Componenti di una forza su un piano inclinato

Come avrete capito, i calcoli in fisica non sono mai così semplici! Non tutte le superfici sono orizzontali: a volte le superfici possono essere inclinate e bisogna calcolare e risolvere le componenti lungo un piano inclinato.

Fig. 10 - La direzione del peso su un piano inclinato

In questa figura, possiamo vedere una scatola su una superficie ad un angolo di \(30^{\circ}\) dal piano orizzontale. Il peso della scatola, \(mg\), agisce verticalmente.

Se dividiamo il vettore \(mg\) nelle sue componenti orizzontali e verticali, prendendo come riferimento il piano inclinato, vedremo che la componente verticale è perpendicolare al piano inclinato, mentre quella orizzontale vi è parallela.

Fig. 11 - Scomposizione del vettore \(mg\) nelle sue componenti rispetto al piano inclinato.

L'angolo \(\theta\) tra \(mg\) e \(mgcos\theta\) sarà lo stesso angolo del piano inclinato rispetto all'orizzontale. La forza che accelera la scatola giù per la discesa sarà \( F_g= mgsin\theta\) e la reazione vincolare \(F_N\) eguaglierà \(mg cos\theta\). Ricapitoliamo:

\[F_g = mgsin\theta\] \[F_N=mgcos\theta\]

Fig. 12 - Scomposizione dei vettori e direzione del moto su un piano inclinato.