Centro di massa

Supponiamo di voler ottenere il centro di massa di un corpo regolare e simmetrico, come un quadrato. Se avete mai giocato con un pezzo quadrato di metallo o di legno, sapete che potete metterlo in equilibrio sul vostro dito posizionandolo al centro del quadrato.

Fig. 3 - Il centro di massa in un quadrato con densità regolare è al centro.

Il centro di massa degli oggetti regolari, come un quadrato, un rettangolo, un cerchio o un triangolo equilatero, si trova al centro della forma geometrica, come mostrato di seguito:

Fig. 4 - Il centro di massa in un cerchio con raggio r arbitrario, un triangolo equilatero con lato l arbitrario, un rettangolo con lati l e L arbitrari, un anello con raggi interni ed esterni arbitrari (r1 e r2).

Un sistema di tre particelle ha la configurazione mostrata nella Figura 6. Le particelle sono collegate da forze che le tengono bloccate in una posizione triangolare. Un'altra forza le fa muovere tutte nel piano \((x,z)\).

Determina il centro di massa che può essere utilizzato per semplificare il loro movimento se le loro singole masse sono \(m1=100\, \mathrm g\), \(m2=50\, \mathrm g\), e \(m3=64\, \mathrm g\).

Fig. 6 - Sistema di particelle con coordinate x, y e z. Le particelle si trovano tutte nel piano (x,z), quindi la loro seconda coordinata è 0.

Innanzitutto, è necessario ottenere la coordinata di ogni particella del sistema. In questo caso, per tutte le particelle si ha \(y=0\). Il problema sarà semplificato per trovare le coordinate in \(x\) e in \(z\):

\[ CM_x = \frac {m_1 x+ m_2 x + m_3 x } { m_1 + m_2 + m_3 } = \frac { (100 \cdot 3)+(50 \cdot 2,5)+(64 \cdot 1,6) } { 100 + 50 + 64} = 2,46 \approx 2,5 \]

\[ CM_z = \frac {m_1 z+ m_2 z+ m_3 z } { m_1 + m_2 + m_3 } = \frac { (100 \cdot 2,3)+(50 \cdot 3,5)+(64 \cdot 2,7) } { 100 + 50 + 64} = 2,7 \]

È quindi possibile semplificare il movimento delle tre particelle come un unico punto in movimento nel piano (x,z) con le seguenti coordinate:

\[ CM_{x,z} = (2,5 ; 2,7 ) \]

Fig. 7 - Il centro di massa (rosa) è il punto che può essere utilizzato per descrivere la traiettoria delle tre particelle in movimento.

Se la palla ha densità uniforme, centro geometrico, centro di massa e baricentro coincidono (avendo considerato costante il campo gravitazionale). Supponiamo la palla sia soggetta a una forza \(F\). Oltre a questa forza, sulla palla agiranno anche la forza di gravità e l'attrito, come mostrato in Figura 9.

La forza di attrito agisce perpendicolarmente alla superficie di contatto e in verso contrario al movimento della sfera. Questa forza agisce a una distanza \(^"d^"\) dal centro della sfera, provocando una coppia che è responsabile della rotazione della sfera.

Fig. 8 - Il punto in cui è stata applicata la forza F e la gravità possono essere semplificati come agenti sul centro di massa (x rossa).

Fig. 9 - Una palla da biliardo ruota a causa della forza di attrito "f", che si produce a una distanza "d" dal suo centro di massa quando la palla è soggetta alla forza "F".

Una barra lunga 10 chilometri si estende verticalmente sulla superficie terrestre. La sua forma è cilindrica con uno spessore A. Il vento non soffia e non c'è altra forza oltre alla gravità.

In questo caso, il centro di massa si trova esattamente al centro della barra, poiché la densità è uniforme. Tuttavia, il baricentro non lo è. Ricordiamo la formula della forza di gravità sulla superficie della terra.

\[ F = G \frac {M_{Terra} m_{cilindro}}{r^2} \,,\]

dove \(G\) è la costante di gravitazione universale, pari a \(6{,}67 \times 10^{-11} \, \mathrm N \, \mathrm m^2/\mathrm {kg}^2\), \(r\) è la distanza del centro di massa terrestre da ciascuna parte del cilindro, misurata in metri. \(M_{Terra}\) e \(m_{cilindro}\) sono le masse dei corpi misurate in chilogrammi.

La forza diminuisce man mano che ci si allontana dalla superficie terrestre. Se si divide la barra in piccoli cilindri con un'altezza di \(10\, \mathrm {cm}\) e una massa di \(1 \mathrm {kg}\), gli ultimi cilindri di questa lunga barra sentono una forza gravitazionale minore rispetto a quelli in superficie se tutti i valori sono uguali e solo r cambia.

Ciò significa che la parte superiore della barra pesa meno e il suo baricentro si sposta verso il basso.