Equilibrio

Equilibrio statico ed equilibrio dinamico

Se la risultante delle forze applicate a un punto materiale è nulla, per il primo principio della dinamica il sistema resta in quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. La condizione di equilibrio per un punto materiale è pertanto la seguente:

\[ \vec F_{TOT} = 0 \,. \]

In generale, se un corpo rimane in quiete, si dice che è in equilibrio statico. Un classico esempio è quello di un oggetto appoggiato su un tavolo. L'ggetto è in quiete in quanto la forza di gravità (diretta verso il basso) è bilanciata dalla reazione vincolare (diretta verso l'alto) del tavolo che sorregge l'oggetto.

Se anziché essere in quiete, il corpo si muove di moto rettilineo uniforme, allora si parla di equilibrio dinamico. Dal punto di vista matematico, la trattazione è la medesima: la somma delle forze agenti sul sistema deve essere nulla.

Equilibrio dei solidi

Rienunciamo ora brevemente il concetto di equilibrio per un punto materiale prima di estendere il concetto di equilibrio ai corpi estesi.

Equilibrio di un punto materiale

Con il concetto di "punto materiale" si indica un punto dotato di massa ma privo di estenzione. Si tratta quindi di un puro modello teorico.

Equilibrio di un corpo rigido

Il concetto di punto materiale, utile a effettuare un'analisi dinamica dei sistemi, non esiste tuttavia nella realtà. Vediamo quindi quali sono le condizioni di equilibrio per un corpo esteso.

Si definisce corpo rigido un oggetto esteso che non subisce deformazioni indipendentemente dalle forze che gli sono applicate. Lo studio dell'equilibrio nei corpi deformabili può diventare piuttosto complesso; ci limiteremo quindi al caso dei corpi rigidi.

Un corpo rigido è in equilibrio statico quando non subisce né traslazioni né rotazioni. Questo si verifica quando la somma delle forze agenti di esso e la somma dei momenti delle singole forze sono entrambi uguali a zero.

Condizione di equilibrio traslazionale

Affiché un corpo rigido non trasli, il suo centro di massa (ovvero il punto in cui si può considerare concentrata tutta la massa) deve rimanere fermo. Questo avviene quando la somma delle forze agenti sul corpo è pari a zero.

\[ \vec F_{TOT} = \sum_{i} F_i = 0 \,.\]

Condizione di equilibrio rotazionale

Affinché il corpo rigido non ruoti, è necessario che la somma dei momenti delle forze sia nulla:

\[ \vec M_{TOT} = \sum_{i} M_i = 0 \,.\]

Momento di una forza

Vediamo ora, più nel dettaglio, cos'è il momento di una forza. Il momento di una forza, detto anche momento torcente, è dato dal prodotto vettoriale tra il braccio della forza \( \vec r \) e la forza stessa \( \vec F \) :

\[ M = \vec r \times \vec F \,.\]

L’unità di misura del momento torcente è il Newton per metro ( \( \mathrm N \, \mathrm m \) ).

Ricordandoci la definizione di prodotto vettoriale, la direzione di \( \vec M \) è perpendicolare al piano individuato da \( \vec r\) e \( \vec F\) e il suo modulo è

\[ \lvert \vec M \rvert = r F \sin(\theta) \,,\]

dove \( \theta \) è l'angolo compreso tra \( \vec r \) e \( \vec F \) .

Fig. 1 - Momento di una forza: \( \tau = \vec r \times \vec F \).

È importante notare che il braccio non è fisso ma cambia a seconda del punto di applicazione della forza. Più nello specifico, il braccio è diretto dal centro di rotazione al punto in cui viene applicata la forza come mostrato in Figura 1.

L’effetto del momento è di produrre una rotazione attorno al centro di rotazione, come mostrato in Figura 2 nel caso di un momento generato applicando una forza a una chiave inglese.

Dalla definizione di momento di una forza è facile notare che, a parità di forza applicata, il modulo del momento aumenta all'aumentare del braccio. Inoltre, puoi notare che il momento è nullo per \(\theta = 0°\) (o \(\theta = 180°\)) e massimo per \(\theta = 90°\) (o \(\theta = 270°\)) . In altre parole, se \( \vec r \) e \( \vec F \) sono paralleli, il momento torcente è nullo e, quindi, non ci può essere rotazione. Se, viceversa, \( \vec r \) e \( \vec F \) sono perpendicolari, a parità di intensità della forza e braccio, il valore del momento torcente è massimo.

Momento di una coppia di forze

Nel caso di due forze \( \vec F \) e \( - \vec F \) aventi uguale intensità, stessa direzione e verso opposto si parla di "coppia di forze". Questo sistema causa una rotazione come mostrato in Figura 3.

Fig. 3 - Momento torcente di una coppia di forze.

Il momento risultante \( \vec M \) è perpendicolare al piano dove si trovano le due forze e si trova applicando la stessa formula vista nel caso del momento di una forza, \( \vec M = \vec r \times \vec F \), con la differenza che \( \vec r \), in questo caso, è il vettore che congiunge i punti di applicazione delle due forze.

Equilibrio dei fluidi

In questa sezione vedremo brevemente come il concetto di equilibrio può essere applicato ai fluidi.

I fluidi sono sostanze che comprendono sia liquidi che gas e sono caratterizzati dal fatto che le particelle che li costituiscono possono scorrere le une sulle altre (liquidi) o muoversi indipendentemente le une dalle altre (gas).

Analogamente al caso dei solidi, un fluido è in equilibrio statico se è in quiete e vi rimane nel tempo. Ricordati, tuttavia, che dal punto di vista microscopico le singole particelle sono in continuo movimento! Pertanto, quando parliamo di fluido in equilibrio statico, ci riferiamo a uno stato di quiete dal punto di vista macroscopico.

Pressione in un fluido

Prima di enunciare la condizione di equilibrio statico nei fluidi dobbiamo capire quali forze agiscono in un fluido.

In un fluido si distinguono forze di volume, ovvero quelle forze esercitate sul volume dell'elemento di fluido (come, ad esempio, la forza peso) e le forze di superficie, ovvero quelle forze esercitate sulla superficie dell'elemento di fluido.

Più nello specifico, un fluido esercita una pressione sia sulle pareti del recipiente che lo contiene che su un qualunque corpo immerso. Inoltre, ogni elemento di fluido esercita una pressione sugli altri elementi.

In generale, si definisce pressione il rapporto tra la forza agente sulla superficie e l'area della superficie.

Fig. 4 - La pressione è data dal rapporto tra la forza premente F e l'area della superficie A.

La pressione è inversamente proporzionale all'area della superficie su cui è esercitata. Questo significa che, a parità di forza applicata, la pressione aumenta al diminuire dell'area della superficie su cui è esercitata.

In un fluido, si definisce pressione interna nel punto P la pressione esercitata sulla superficie \( \Delta A \) centrata in P. Se \( \Delta F \) è l'intensità della forza perpendicolare alla superficie \( \Delta A \) , agente sulla superficie stessa, la pressione è:

\[P = \lim _{ \Delta A \to 0 } \frac { \Delta F}{ \Delta A} \,.\]

Condizione di equilibrio nei fluidi

Affinché il fluido sia in quiete, la somma delle forze deve essere nulla. Indicando con \( F_V \) le forze di volume e con \( F_S \) le forze di superficie, la condizione di equilibrio è la seguente:

\[ \vec F_V + \vec F_S = 0 \,.\]

Si può dimostrare che questa condizione si traduce nella seguente relazione:

\[ \nabla P = \rho \vec a\,,\]

dove \( \nabla P \) è il gradiente della pressione, \( \rho \) è la densità del fluido e \( \vec a \) è l'accelerazione dovuta alla forze di volume.

Come vedremo più nel dettaglio negli articoli di questa sezione, se il fluido ha densità costante e l'unica forza di volume è la forza peso, questa condizione di equilibrio si traduce nella legge di Stevino.