Dielettrico

Costante dielettrica

Come abbiamo visto, in quasi tutte le equazioni in campo elettromagnetico è presente una costante chiamata costante dielettrica e spesso indicata con il simbolo \(\epsilon\) (o con l'aggiunta di un pedice \(0\) per indicare la costante dielettrica del vuoto). Questa costante, spesso chiamata anche permittività elettrica, ci dà un'idea di quanto un materiale "contrasti" il campo elettrico, ovvero quanto un materiale attenua un campo elettrico che lo attraversa.

Costante dielettrica nel vuoto

La costante dielettrica del vuoto è la permittività elettrica caratteristica del vuoto. È importante perché nella maggior parte delle nostre considerazioni, pensiamo a un caso ideale in cui le cariche sono nel vuoto e non hanno un materiale ad interferire con il campo elettrico che generano.

In particolare, nel vuoto, la costante dielettrica vale

\[\epsilon_0 = 8{,}9 \times 10^{-12} \: \mathrm{C^2 \: N^{-1} \:m^{-2}}\:.\]

Costante dielettrica nei materiali

Nei materiali, la costante dielettrica è diversa che nel vuoto e bisogna considerare che i fenomeni elettrici vengono più o meno ridotti in base a quanto il materiale "resiste" al campo elettrico. Per questo, nei nostri conti, non possiamo usare la costante dielettrica del vuoto, ma dobbiamo usarne una diversa, detta costante dielettrica del mezzo.

Quando parliamo di costante dielettrica nel mezzo possiamo riferirci a una costante dielettrica assoluta del mezzo, ovvero una quantità fisica espressa in \(\mathrm{C^2 \: N^{-1} \:m^{-2}}\), indicata con \(\epsilon_m\), che va a sostituire \(\epsilon_0\) nelle nostre equazioni, oppure possiamo parlare di costante dielettrica relativa del mezzo, ovvero un numero adimensionale, indicato con \(\epsilon_{m,r}\) che indica il rapporto tra la costante dielettrica assulta del mezzo e la costante dielettrica del vuoto.

La costante dielettrica relativa di un mezzo, in poche parole, descrive quanto più grande è la costante dielettrica del materiale rispetto a quella del vuoto, mentre la costante dielettrica assoluta ci dice esattamente il valore della costante dielettrica del materiale.

Per capire bene questa differenza, pensiamo alla forza di Coulomb. Nel vuoto, abbiamo visto che vale la formula per il modulo data da

\[F_0 = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{|q_1|\, |q_2|}{r^2},\]

dove \(q_1\) e \(q_2\) sono i valori di due cariche poste a distanza \(r\) una dall'altra e \(F_0\) la forza che esercitano l'una sull'altra nel vuoto.

Pensiamo ora di osservare in un mezzo, le stesse due cariche. La forza che osserveremo sarà data da

\[F_m = \frac{1}{4\pi\epsilon_m} \frac{|q_1|\, |q_2|}{r^2}.\]

In questo caso, nella costante di Coulomb compare \(\epsilon_m\), la costante dielettrica assoluta del materiale, al posto di quella del vuoto. Possiamo quindi vedere che a \(\epsilon_0\) dobbiamo sostituire un'appropriata \(\epsilon_m\) quando lavoriamo nei materiali.

La costante dielettrica relativa del mezzo, nient'altro è che il rapporto tra le due forze (e di conseguenza tra le due costanti) che abbiamo appena visto, ovvero

\[\epsilon_{m,r} = \frac{F_0}{F_m} = \frac{\epsilon_m}{\epsilon_0}\,.\]

In altre parole, se rigiriamo questa formula, otteniamo

\[\epsilon_m = \epsilon_{m,r}\,\epsilon_0\,,\]

ovvero, possiamo vedere che \(\epsilon_{m,r}\) rappresenta "quante volte più grande è \(\epsilon_m\) di \(\epsilon_0\)".

Costanti dielettriche nei materiali: tabella

Vediamo una tabella delle principali costanti dielettriche relative nei materiali.

Dielettrico: condensatori

Un'importante applicazione dei dielettrici è quella che riguarda i condensatori. Quando all'interno di un condensatore, tra le due armature, si inserisce un materiale isolante, la carica e la capacità del condensatore cambiano.

Differenza di potenziale

Quando si inserisce un dielettrico all'interno di un condensatore, infatti, la differenza di potenziale tra le armature del condensatore diminuisce. Se indichiamo con \(\Delta V_0\) la differenza di potenziale che il condensatore ha nel vuoto e \(\Delta V\) quella che il condensatore ha quando viene riempito da un dielettrico, si può vedere che vale

\[\Delta V = \frac{\Delta V_0}{\epsilon_{m,r}}\,,\]

ovvero la differenza di potenziale tra le due armature diminuisce di un fattore pari alla costante dielettrica relativa del materiale.

Campo elettrico

Analogamente a quanto detto per la differenza di potenziale, l'intensità del campo elettrico si riduce in base alla costante dielettrica relativa del materiale:

\[E = \frac{E_0}{\epsilon_{m,r}}\,.\]

Suscettività elettrica

Pensiamo ora alla variazione che il campo elettrico subisce (in intensità) quando viene introdotto un dielettrico al suo interno. Prendiamo come esempio un condensatore piano parallelo, ovvero due piastre parallele separate da una distanza \(d\). Ricordiamo che questo tipo di condensatore, al suo interno, genera un campo pari a

\[E = \frac{|\sigma|}{\epsilon_0}\,.\]

La presenza del dielettrico nel condensatore non altera la carica totale \(Q\) presente sulle sue armature, e neppure la loro densità superficiale \(\sigma\), però sappiamo che il campo varia di un fattore \(\epsilon_{m,r}\), possiamo quindi scrivere

\[\begin{align*} \Delta E &= E_0 - E = E_0 - \frac{E_0}{\epsilon_{m,r}} = \\&= \frac{|\sigma|}{\epsilon_0} -\frac{|\sigma|}{\epsilon_{m,r} \epsilon_0} =\\[8 pt]&= \frac{\epsilon_{m,r} - 1}{\epsilon_{m,r}} \frac{|\sigma|}{\epsilon_0}\,.\end{align*}\]

Siccome \(\Delta E\) è la variazione che subisce il campo elettrico del condensatore, possiamo dire che questa è uguale al campo elettrico che si genera all'interno del dielettrico \(E_m\) e si può osservare che questo è parallelo e opposto a \(E_0\) e quindi possiamo interpretare che questo campo sia quello che effettivamente causa una diminuzione dell'insità del campo elettrico.

Possiamo introdurre una nuova grandezza, chiamata suscettività elettrica del mezzo, che indichiamo con \(\chi_m\) e che non è nient'altro che la differenza tra la costante dielettrica relativa del mezzo e \(1\), ovvero

\[\chi_m = \epsilon_{m,r} -1\,.\]

Ovviamente, essendo \(\epsilon_{m,r} > 1\), \(\chi_m\) sarà necessariamente maggiore di 0.

Con questa nuova grandezza possiamo riscrivere il campo elettrico all'interno del dielettrico come

\[E_m = \frac{\chi_m}{\chi_m + 1} \frac{|\sigma|}{\epsilon_0}\,.\]

Questa quantità, in particolare, è una misura di quanto un materiale si polarizza in risposta alla presenza di un campo elettrico.

Capacità elettrica

Contrariamente a quello che abbiamo visto per il campo elettrico e la differenza di potenziale tra le armature, la capacità elettrica del condensatore aumenta con l'inserimento di un dielettrico.

Intuitivamente, se la carica sulle armature \(Q\) rimane la stessa e la differenza di potenziale \(\Delta V\) diminuisce rispetto al vuoto, essendo la capacità il rapporto tra carica e differenza di potenziale, questa non potrà che aumentare. Di quanto? Facciamo i conti

\[ C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{Q}{\dfrac{\Delta V_0}{\epsilon_{m,r}}} = \epsilon_{m,r} \, C_0\,,\]

dove \(C_0\) è la capacità del condensatore senza il dielettrico al suo interno. Quindi la capacità elettrica aumenta di un fattore \(\epsilon_{m,r}\).