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Carica di un condensatore
Nei materiali conduttivi molti elettroni caricati negativamente creano la corrente elettrica. Questi elettroni possono muoversi facilmente nel campo elettrico e staccarsi dagli atomi. Nei materiali isolanti, invece, gli elettroni sono presenti in numero molto ridotto e, essendo fortemente legati al nucleo atomico, non possono staccarsi facilmente dall'atomo.Questo è importante da sapere per capire come si carica un condensatore, poiché la capacità di carica del condensatore deriva dal campo elettrico che spinge o attrae gli elettroni. Il condensatore si carica quando le cariche positive e negative si raccolgono sulle piastre opposte del condensatore.
Fig. 1 - Diagramma di un condensatore carico
Le cariche positive e negative sulle piastre si attraggono ma non si raggiungono mai, permettendo così a un condensatore di mantenere la sua carica.L'isolante tra le due piastre trattiene questa "carica". In pratica, ci sono piccole correnti di dispersione che attraversano gli isolanti. Pertanto, la durata della carica di un condensatore dipende dalla qualità dell'isolante. Questa "carica" è in realtà la differenza di energia potenziale tra le due piastre, che deriva dalla differenza di tensione tra le due estremità.Per capire come funziona un condensatore e come si comporta la sua carica nei circuiti in corrente continua, vediamo il semplice circuito in figura 2.
Fig. 2 - Un semplice circuito per caricare un condensatore.
Quando l'interruttore è in posizione 2, non c'è tensione applicata al condensatore e quindi non c'è campo elettrico. Gli elettroni nelle piastre conduttrici sono fermi e le piastre non si caricano di una carica positiva o negativa. La differenza di potenziale tra di esse è quindi pari a zero, e il voltmetro legge il valore 0.Quando si sposta l'interruttore in posizione 1, si nota che la lancetta dell'amperometro si sposta verso l'alto prima di tornare rapidamente verso il basso. Questo perché quando l'interruttore viene spostato in posizione 1 si verifica un movimento di elettroni.Grazie alla forza del campo elettrico, il polo positivo dell'alimentatore attira gli elettroni nella piastra conduttiva superiore, mentre il polo negativo li spinge verso la piastra conduttiva inferiore. La piastra superiore si carica positivamente, avendo perso elettroni, mentre la piastra inferiore si carica negativamente, avendo guadagnato elettroni.
Fig. 3 - Esempio di un condensatore carico all'interno di un circuito.
Ora c'è una differenza di potenziale tra le due piastre del condensatore. Come cambiano i valori letti dall'amperometro e dal voltmetro? Il grafico 4 mostra quella che viene chiamata legge di carica di un condensatore.
Fig. 4 - Grafico del voltaggio durante la carica di un condensatore.
Il periodo in cui un condensatore si carica è chiamato stato transitorio. È durante questo periodo che la lancetta dell'amperometro si sposta verso l'alto e poi di nuovo verso il basso. Quando il condensatore è completamente carico, ha raggiunto lo stato stazionario. A questo punto, il voltmetro legge \(V\), che è il valore della tensione del generatore.
Fig. 5 - Grafico dell'intensità di corrente durante la carica di un condensatore
La lettura del valore dell'amperometro è opposta a quella del valore della tensione. Il motivo è che il condensatore si sta caricando nello stato transitorio della carica, quindi la corrente continua ad attraversarlo.Mentre si carica, la differenza di potenziale tra le piastre del condensatore aumenta, avvicinandosi alla differenza di potenziale dell'alimentatore. Man mano che si avvicina, la corrente inizia a diminuire perché la differenza di potenziale tra l'alimentatore e il condensatore diminuisce. Quando il condensatore è completamente carico, entra nello stato stazionario e le differenze di potenziale dell'alimentatore e del condensatore sono le stesse.Il carico elettrico che un condensatore può immagazzinare in un circuito a corrente continua è:
\[Q =C\:V\]
dove \(V\) è il voltaggio applicato ai capi del condensatore, \(C\) è la capacità del condensatore e \(Q\) la carica elettrica del condensatore.
Legge di carica di un condensatore
La legge di carica di un condensatore la legge matematica che lega la quanta carica è presente sulle piastre del condensatore (o equivalentemente, la differenza di potenziale tra le due o la corrente che le attraversa) al tempo durante il processo di carica.
La dimostrazione formale può essere un po' complicata e la lasceremo come approfondimento per i più intrepidi, quindi enunciamo solo quali sono le formule che regolano la carica di un condensatore.
\[Q(t) = C\mathcal{E} \: (1-e^{-t/RC})\]
\[V_C(t) = \frac{Q(t)}{C}=\mathcal{E}\:(1-e^{-t/RC})\]
\[i(t) = \frac{dQ}{dt}=\frac{\mathcal{E} }{R}\:e^{-t/RC}\]
dove, in ognuna di queste equazioni, \(Q\) è la carica sulle piastre dei condensatori, \(C\) la capacità dei condensatori, \(R\) la resistenza totale del circuito che permette al condensatore di scaricare, \(\mathcal{E}\) la forza elettromotrice generata dal generatore e \(t\) il tempo trascorso durante il processo di carica.
Per derivare queste leggi serve avere un minimo di conoscenza di equazioni differenziali, però ci permettono di capire effettivamente come avviene il processo di carica del condensatore.
Se pensiamo a un circuito aperto, costituito da un generatore \(\mathcal{E}\), un resistore \(R\) e un condensatore \(C\) e pensiamo, al momento \(t=0\), di chiudere l'interruttore, caricando quindi il condensatore, avremo un flusso di cariche che porta il condensatore da una carica \(Q=0\) a una carica \(Q=C\mathcal{E}\). Questa carica corrisponde ad una differenza di potenziale \(V_C\) tra le piastre del condensatore e possiamo scrivere, in un generico tempo \(t\),
\[\mathcal{E} = V_R(t) + V_C(t) = Ri(t) + \frac{Q(t)}{C}\]
\[i(t) = \frac{dQ(t)}{dt}\]
Se rigiriamo l'equazione, otteniamo
\[R \: \frac{dQ}{dt} = \mathcal{E}-\frac{Q(t)}{C}\]
Riordiniamo, separando le variabili:
\[\frac{dQ}{Q-C\mathcal{E}}=-\frac{dt}{R\:C}\]
Integrando queste equazioni, otteniamo
\[\int_0^Q \frac{dq}{q-C\mathcal{E}} = -\frac{1}{R\:C} \int_0^t dt\]
\[ln\left(\frac{Q-C\mathcal{E}}{-\:C\:\mathcal{E}}\right)=-\frac{t}{R\:C}\]
Se esplicitiamo la carica, otteniamo esattamente la legge che abbiamo enunciato:
\[Q(t) = C\mathcal{E}(1-e^{-t/RC})\]
usando le relazioni che legano carica a differenza di potenziale o derivando nel tempo, otteniamo l'andamento del potenziale e dell'intensità di corrente rispettivamente.
Scarica di un condensatore
Come abbiamo visto, i condensatori hanno due piastre conduttrici separate da un materiale isolante. Quando il condensatore è in carica, si verificano le due fasi seguenti nell'ordine in cui sono elencate:
Una differenza di potenziale tra le due piastre conduttive inizia ad aumentare a causa del campo elettrico creato dalla sorgente nel circuito. Una delle piastre guadagna elettroni in eccesso dall'altra piastra perché il campo elettrico della sorgente spinge gli elettroni dalla piastra verso cui è diretto il polo positivo.
Una volta completata la carica, una delle piastre ha una carica positiva, mentre l'altra ha una carica negativa.
Quando il condensatore si scarica, l'eccesso di elettroni sulla piastra con carica negativa inizia a fluire verso la piastra con carica positiva, il che fa sì che il condensatore crei un flusso di elettroni nel circuito e agisca come fonte di tensione per un certo periodo di tempo. Questo flusso di elettroni si interrompe quando la differenza di potenziale tra le piastre scende a zero, il che significa che entrambe le piastre sono neutre in quel momento e la carica che il condensatore conteneva è stata restituita al circuito.Nei circuiti in corrente continua, il condensatore si carica e si scarica una sola volta. Per capire meglio il concetto, riprendiamo il circuito in figura 2.
In questo circuito, l'amperometro (A) indica il valore della corrente che scorre nel condensatore, mentre il voltmetro (V) indica la differenza di potenziale tra le piastre. Quando spostiamo l'interruttore in posizione 1, il condensatore si carica. La piastra superiore si carica positivamente perché il campo elettrico della sorgente ha spinto gli elettroni della piastra superiore verso la piastra inferiore, il che significa che la piastra inferiore si carica negativamente. Se poi spostiamo l'interruttore in posizione 3, il condensatore inizia a scaricarsi.
Fig. 6 - Quando l'interruttore viene spostato nella posizione 3, il condensatore inizia a scaricarsi e restituire corrente al circuito.
Subito dopo aver spostato l'interruttore in posizione 3, inizia un flusso di elettroni dal condensatore. Poiché è in direzione opposta al flusso di elettroni che si verificava quando il condensatore era in carica, l'indicatore dell'amperometro gira per un breve periodo nella direzione opposta prima di tornare a zero. Questo flusso di carica termina quando la carica delle due piastre del condensatore è uguale, ovvero quando la loro differenza di potenziale è nulla, il che indica che il condensatore si è scaricato.Poiché il condensatore nel circuito della Figura 6 è cortocircuitato, il periodo di tempo in cui è presente il flusso di elettroni è molto breve. Per aumentare questo periodo di tempo e utilizzare il condensatore come sorgente per un periodo più lungo, è necessario collegare al circuito delle resistenze, che resistono al flusso di corrente.
Fig. 7 - Grafico del voltaggio durante la scarica di un condensatore.
Come si può notare, nei circuiti in corrente continua si parla di stato transitorio quando il condensatore si sta scaricando e il livello di tensione scende a zero. Quando il condensatore è completamente scarico, si parla di stato stazionario.
Fig. 8 - Grafico dell'intensità di corrente durante il processo di scarica del condensatore.
Si può notare che il valore della corrente inizia a raggiungere lo zero partendo da un valore negativo. Questo perché il flusso di elettroni è in direzione opposta a quella in cui si trovava mentre il condensatore era in carica. Anche la direzione del flusso di corrente è ovviamente diversa.Una volta scaricato il condensatore, a meno che non si sposti l'interruttore in posizione 1, la carica del condensatore e la corrente che attraversa il circuito rimarranno nulle.
Legge di scarica del condensatore
Analogamente a quanto visto per la carica di un condensatore, esiste una relazione che lega il tempo di carica di un condensatore alle sue quantità principali. Vediamo quali sono queste leggi, lasciando un approfondimento per chi volesse comprendere come vengono derivate queste quantità:
\[Q(t) = Q_0 \:e^{-t/RC}\]
\[V_C(t) = \frac{Q}{C}=\frac{Q_0}{C}\:e^{-t/RC}=V_0\:e^{-t/RC}\]
\[i(t) = - \frac{dQ}{dt} = \frac{Q_0}{R\:C}\: e^{-t/RC}=\frac{V_C}{R}\]
Prendiamo un circuito aperto in cui il condensatore \(C\) sia carico con carica \(Q_0\) e in cui sia presente un resistore di resistenza \(R\). Al tempo \(t=0\) l'interruttore viene chiuso e il condensatore si scarica, dando luogo ad una corrente \(i=-dQ/dt\). Non essendoci un generatore, la differenza di potenziale ai capi del generatore equivale a quella ai capi del resistore. Possiamo scrivere le condizioni iniziali come:
\[V_C = \frac{Q}{R}=V_r =R\:i\]
\[i = -\frac{dQ}{dt} \Rightarrow \frac{dQ}{dt} = -\frac{Q}{R\:C}\]
Da cui otteniamo l'integrale
\[\int_{Q_0}^Q \frac{dQ}{Q}=-\int_0^t \frac{dt}{R\:C}\]
\[ln\frac{Q}{Q_0} = - \frac{t}{R\:C}\]
E, esplicitando la carica, otteniamo:
\[Q(t) = Q_0 \: e^{-t/RC}\]
Che è esattamente la formula che abbiamo visto prima!
Carica e scarica di un condensatore - Punti chiave
- Quando in un circuito abbiamo un condensatore e lo colleghiamo ad un generatore e ad una resistenza, questo inizia a caricarsi nel tempo fino a raggiungere una carica massima.
- La legge di carica del condensatore afferma che la carica varia come \(Q(t) = C\mathcal{E} \: (1-e^{-t/RC}) \) durante il processo di carica.
- Quando si ha un condensatore carico e una resistenza, il condensatore inizia a scaricarsi, fino a ridistribuire la sua carica nel circuito.
- La legge di scarica del condensatore afferma che la carica varia come \(Q(t) = Q_0 \:e^{-t/RC} \) durante il processo di scarica.
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Domande frequenti riguardo Carica e scarica di un condensatore
Come avviene la carica e la scarica di un condensatore?
I processi di carica e scarica di un condensatore avvengono rispettivamente quando un condensatore scarico viene collegato ad un generatore di forza elettromotrice (e una resistenza) o quando un condensatore già carico viene collegato solo ad una resistenza.
Durante il processo di carica, le armature del condensatore passano da una differenza di potenziale nulla a quella a "regime". Per fare questo, le cariche si accumulano sulle piastre del condensatore.
Durante il processo di scarica di un condensatore, invece, la differenza di potenziale ai capi delle piastre si adatta a quella del circuito, ridistribuendo gli elettroni precedentemente raccolti sulle piastre.
Cosa si intende per scarica di un condensatore?
Per scarica di un condensatore si intende quel processo elettrico per cui un condensatore carico ridistribuisce la cariche accumulate al circuito.
Quando un condensatore si dice carico?
Un condensatore si dice carico quando raggiunge la sua carica massima, data da Q = CV dove Q è la carica, C è la capacità del condensatore e V la differenza di potenziale presente ai capi del condensatori.
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